Question

3．在?ABCD中，点E从点B开始沿BC方向向C点运动，如图①所示，连接AE交BD于点O，得到△AOD与△BOE始终相似．
（1）当E点运动到何处时，△AOD与△BOE的相似比为2：1？
（2）当E点运动到何处时，△AOD与△BOE全等？
（3）若E点到达C点后，继续沿着BC的方向向右运动，如图②所示，这时AE与CD的交点为F，且△ADF∽△ECF．试说明：当E点运动到某一点，使△ADF与△ECF全等时，点F在CD的什么位置？并求出这时△AOD与△BOE的相似比．
（4）在图②中，$\frac{CD}{CF}$=$\frac{BE}{CE}$的值是否一定？若一定，请求出这个值；若不一定，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据△AOD与△BOE的相似比为2：1，求出AD与BE的关系，得到答案；
（2）根据全等三角形的性质求出E点运动的位置；
（3）根据全等三角形的性质求出AD与CE的关系，得到答案；
（4）根据题意可知CE是在变化的，而BC为定值，得出结论．

解答 解：（1）∵△AOD与△BOE的相似比为2：1，
∴$\frac{AD}{BE}$=$\frac{2}{1}$，又AD=BC，
∴E点运动到BC的中点时，△AOD与△BOE的相似比为2：1； 
（2）∵△AOD与△BOE全等，
∴AD=BC，
∴点E与点C重合时，△AOD与△BOE全等；
（3）∵△ADF与△ECF全等，
∴DF=CF，则点F为CD的中点，
∴点F为CD的中点时，△ADF与△ECF全等，
∵△ADF与△ECF全等，∴AD=CE，
则AD=$\frac{1}{2}$BE，
∴△AOD与△BOE相似比为$\frac{1}{2}$；
（4）∵E点到达C点后，继续沿着BC的方向向右运动，
∴线段CE在逐渐增大，而线段BC不变，
∴$\frac{BE}{CE}$的值是不一定的．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握判定定理和性质定理是解题的关键，注意三角形全等是三角形相似的一种特殊形式．