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【题目】在△ABC中,BC=AC,∠BCA=90°,P为直线AC上一点,过点A作AD⊥BP于点D,交直线BC于点Q.

(1)如图1,当P在线段AC上时,求证:BP=AQ;
(2)如图2,当P在线段CA的延长线上时,(1)中的结论是否成立?(填“成立”或“不成立”)
(3)在(2)的条件下,当∠DBA=度时,存在AQ=2BD,说明理由.

【答案】
(1)

证明:∵∠ACB=∠ADB=90°,∠APD=∠BPC,

∴∠DAP=∠CBP,

在△ACQ和△BCP中

∴△ACQ≌△BCP(ASA),

∴BP=AQ


(2)成立
(3)22.5°
【解析】(2.)成立,
理由:延长BA交PQ于H,

∵∠ACQ=∠BDQ=90°,∠AQC=∠BQD,
∴∠CAQ=∠DBQ,
在△AQC和△BPC中,
∴△AQC≌△BPC(ASA),
∴AQ=BP,
所以答案是:成立;
(3.)当∠DBA=22.5°时,存在AQ=2BD,
理由:∵∠BAC=∠DBA+∠APB=45°,
∴∠PBA=∠APB=22.5°,
∴AP=AB,
∵AD⊥BP,
∴BP=2BD,
在△PBC与△QAC中,
∴△PBC≌△ACQ,
∴AQ=PB,
∴AQ=2BD.
所以答案是:22.5°

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