Question

在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，如图，则下列说法正确的有几个，大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是(     )

（1）AE平分∠DAB；

（2）△EBA≌△DCE；

（3）AB+CD=AD；

（4）AE⊥DE；

（5）AB∥CD．

A．1个  B．2个   C．3个  D．4个

Answer 1

 D

【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质．

【分析】此题可以通过作辅助线来得解，取AD的中点F，连接EF．根据平行线的性质可证得（1）（4）（5），根据梯形中位线定理可证得（3）正确．根据全等三角形全等的判定可证得（2）的正误，即可得解．

【解答】解：如图：取AD的中点F，连接EF．

∵∠B=∠C=90°，

∴AB∥CD；[结论（5）]

∵E是BC的中点，F是AD的中点，

∴EF∥AB∥CD，2EF=AB+CD（梯形中位线定理）①；

∴∠CDE=∠DEF（两直线平等，内错角相等），

∵DE平分∠ADC，

∴∠CDE=∠FDE=∠DEF，

∴DF=EF；

∵F是AD的中点，∴DF=AF，

∴AF=DF=EF②，

由①得AF+DF=AB+CD，即AD=AB+CD；[结论（3）]

由②得∠FAE=∠FEA，

由AB∥EF可得∠EAB=∠FEA，

∴∠FAE=∠EAB，即EA平分∠DAB；[结论（1）]

由结论（1）和DE平分∠ADC，且DC∥AB，可得∠EDA+∠DAE=90°，则∠DEA=90°，即AE⊥DE；[结论（4）]．

由以上结论及三角形全等的判定方法，无法证明△EBA≌△DCE．

正确的结论有4个，故选D．

【点评】本题考查了平行线的判定及性质、梯形中位线定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定等知识点，是一道难度较大的综合题型．