Question

【题目】如图，△ABC和△ADC都是等边三角形，点E，F同时分别从点B，A出发，以相同的速度各自沿BA，AD的方向运动到点A，D停止，连结EC，FC.

(1)在点E，F运动的过程中，∠ECF的大小是否随之变化？请说明理由．

(2)在点E，F运动的过程中，以A，E，C，F为顶点的四边形的面积变化了吗？请说明理由．

(3)连结EF，在图中找出所有和∠ACE相等的角，并说明理由．

(4)若点E，F在射线BA，射线AD上继续运动下去，(1)中的结论还成立吗？直接写出结论，不必说明理由．

Answer 1

【答案】(1)没有变化(2)没有变化(3)∠AFE＝∠DCF＝∠ACE(4)(1)中的结论仍成立

【解析】试题分析：（1）由于BE=AF，BC=AC，且∠B=∠CAF=60°，根据SAS可证得△BCE≌△ACF，即可得∠BCE=∠ACF，因此∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°，因此∠ECF的度数是定值，不会改变．（2）由（1）的全等三角形知：△ACF、△BCE的面积相等，因此四边形AECF的面积可转化为△ABC的面积，因此当E、F分别在线段AB、AD上运动时，四边形AECF的面积不变．（3）同（1）可证得△ACE≌△DCF，得∠ACE=∠FCD；连接EF，由（1）（3）的全等三角形，易知CE=CF，且∠ECF=60°，因此△ECF是等边三角形，那么∠EFC=60°，然后根据平角的定义以及三角形内角和定理，证得∠AFE=∠FCD，进而可求得∠ACE相等的角是：∠ACE=∠AFE=∠FCD．（4）由于当E、F分别在BA、AD延长线上时，（1）的全等三角形依然成立，因此（1）的结论是成立的．

试题解析：

(1)没有变化．理由如下：

∵点E，F的速度相同，且同时运动，

∴BE＝AF.

∵△ABC和△ADC都是等边三角形，

∴BC＝AC，∠B＝∠ACB＝∠CAF＝60°.

在△BCE和△ACF中，∵

∴△BCE≌△ACF(SAS)．∴∠BCE＝∠ACF.

∴∠ECF＝∠ACF＋∠ACE＝∠BCE＋∠ACE＝∠ACB＝60°.

(2)没有变化．理由如下：

由(1)知，△BCE与△ACF的面积相等，

∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝S△BCE＋S△ACE＝S△ABC.

∴四边形AECF的面积没有变化．

(3)∠AFE＝∠DCF＝∠ACE.理由如下：

∵△ABC和△ADC都是等边三角形，

∴∠EAC＝∠FDC＝60°，AB＝AC＝DC＝AD.

∵BE＝AF，∴AB－BE＝AD－AF，即AE＝DF.

∴△ACE≌△DCF(SAS)．

∴∠ACE＝∠DCF，EC＝FC.

又∵∠ECF＝60°，

∴△ECF是等边三角形，∴∠EFC＝60°.

∴∠AFE＋∠DFC＝120°.

∵∠D＝60°，∴∠DCF＋∠DFC＝120°.

∴∠AFE＝∠DCF＝∠ACE.

(4)(1)中的结论仍成立．