Question

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点，若AB=4cm，求线段EF长度的最小值．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：易证∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD，可得∠ADE=∠CDF，即可证明△AED≌△CFD，可得AE=CF，设AE=CF=xcm，则AF=（4-x）cm，根据二次函数最值问题即可解题．

解答：解：∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，
∴∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD，
∵∠MDN=90°，
∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△AED与△CFD中，

∠EAD=∠C AD=CD ∠ADE=∠CDF

，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF，
设AE=CF=xcm，则AF=（4-x）cm，
∴EF²=x²+（4-x）²=2x²-8x+16=2（x²-4x+4）+8，
∴当x=2时，EF有最小值2

2

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了二次函数的最值问题，本题中求证△AED≌△CFD是解题的关键．