Question

如图1，△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于E，D在线段AB上，AD=AC，AF平分∠CAE交CE于F．
（1）求证：FD∥CB；
（2）若D在线段BA的延长线上，AF是∠CAD的角平分线AM的反向延长线，其他条件不变，如图2，问（1）中结论是否仍成立？并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,平行线的判定与性质

专题：

分析：（1）易证∠DAF=∠CAF，即可证明△DAF≌△CAF，可得∠ACE=∠ADF，易证∠B=∠ACE，即可求得∠ADF=∠B，即可解题；
（2）作AG⊥DF，易证AE=AG，即可证明RT△ADG≌RT△AEC，可得∠D=∠ACE，易证∠ACE=∠B，即可求得∠D=∠B，即可解题．

解答：证明：（1）∵AF平分∠CAE，
∴∠DAF=∠CAF，
在△DAF和△CAF中，

AD=AC ∠DAF=∠CAF AF=AF

，
∴△DAF≌△CAF（SAS），
∴∠ACE=∠ADF，
∵∠ACE+∠CAB=90°，∠B+∠CAB=90°，
∴∠B=∠ACE，
∴∠ADF=∠B，
∴DF∥BC；
（2）作AG⊥DF，如图2，

∵AF平分∠CAE，CE⊥AE，
∴AE=AG，
在RT△ADG和RT△AEC中，

AG=AE AD=AC

，
∴RT△ADG≌RT△AEC（HL），
∴∠D=∠ACE，
∵∠ACE+∠BCE=90°，∠BCE+∠B=90°，
∴∠ACE=∠B，
∴∠D=∠B，
∴DF∥BC．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△DAF≌△CAF和RT△ADG≌RT△AEC是解题的关键．