Question

在Rt△ABC中，AB=BC，E为BC中点，点D在射线BA上，连接DE，过点B作BM⊥DE于M，过点A作AN⊥DE于N．当点D是边AB的中点时如图1，易证：AN+BM=2EM．
当点D的位置如图2和图3时，上述结论是否成立，若成立，请给与证明；若不成立，线段AN、BM、EM之间又有怎样的相等关系．写出你的猜想，不必证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）当点D在线段AB上，易证四边形BGNM为矩形，可得GN=BM，即可求得AN+BM=AG，易证△AGB∽△EMB，可得

AG

EM

=

AB

BE

=2，即可解题；
（2）当点D在BA延长线上时，AN+BM=2EM不成立，新结论为BM-AN=2EM，理由：易证四边形AGMN是矩形，可得GM=AN，即可求得BG=BM-AN，易证△AGB∽△BME，可得

BG

EM

=

AB

BE

=2，即可解题．

解答：证明：（1）如图2，当点D在线段AB上，

∵∠BMN=∠MNG=∠NGB=90°，
∴四边形BGNM为矩形，
∴GN=BM，
∴AN+BM=AG，
∵∠ABG+∠ABM=90°，∠ABM+∠MBE=90°，
∴∠MBE=∠ABG，
∵∠AGB=∠BME=90°，
∴△AGB∽△EMB，
∴

AG

EM

=

AB

BE

=2，
∴AN+BM=AG=2EM；
（2）如图3，当点D在BA延长线上时，AN+BM=2EM不成立，新结论为BM-AN=2EM，

理由：∵∠ANM=∠BMN=∠AGM=90°，
∴四边形AGMN是矩形，
∴GM=AN，
∴BG=BM-GM=BM-AN，
∵∠BAG+∠ABG=90°，∠ABG+∠EBM=90°，
∴∠EBM=∠BAG，
∵∠AGB=∠BME=90°，
∴△AGB∽△BME，
∴

BG

EM

=

AB

BE

=2，
∴BM-AN=BG=2EM．

点评：本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，本题中求证△AGB∽△BME是解题的关键．