Question

如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．
（1）求证：CM=CN；
（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：2，求

MN

DN

的值．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）证明四边形AMCN是菱形，即可解决问题．
（2）根据题意求出

MC

DN

=

3

2

，设MC=3λ；用λ来表示CD、AB的长，运用面积公式即可解决问题．

解答：（1）证明：如图，连接AC交MN于点O；
则MN⊥AC，且平分AC，
∴NA=NC；AO=CO；
∵矩形是中心对称图形，
∴MO=NO，而AO=CO，MN⊥AC，
∴四边形AMCN是菱形，
∴CM=CN．
（2）解：∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3：2，
∴

1 2 MC•DC

1 2 DN•DC

=

3

2

，即

MC

DN

=

3

2

，
设MC=3λ，则DN=2λ，AD=5λ，CN=3λ；
由勾股定理得：CD²=CN²-DN²=5λ²，
∴CD=

5

λ；同理可求AC=

30

λ；
由面积公式得：MC•CD=

1

2

AC•MN，
即3λ•

5

λ=

1

2

×

30

λ•MN，
∴MN=

6

λ，
∴

MN

DN

=

6

2

．

点评：该题主要考查了翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质找出图形中隐含的等量关系，灵活运用勾股定理、菱形的判定等几何知识点来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．