Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），以OA为边在第一象限内作等边三角形OAB，点P是x轴上一动点 （点P在点A的右侧），以线段BP为边作等边三角形BPQ．设点Q的坐标为（x，y），则y与x之间的关系式是

 

．

Answer 1

考点：等边三角形的性质,待定系数法求一次函数解析式

专题：

分析：分两种情况：
①当Q在x轴上方时，由△OAB和△BPQ都为等边三角形，等边三角形的边长相等，且每一个内角都为60°，得到∠OBA=∠QBP，等号两边都加上∠ABP，得到∠OBP=∠ABQ，根据“SAS”得到△OBP≌△ABQ，即可得到∠BAQ=∠BOP，从而求得∠QAP=60°，通过解直角三角形即可求得y与x之间的关系式；
②当Q在x轴下方时，由△OAB和△BPQ都为等边三角形，等边三角形的边长相等，且每一个内角都为60°，得到∠OBA=∠QBP，等号两边都减去∠ABP，得到∠BOQ=∠BAP，根据“SAS”得到△OBQ≌△ABP，即可得到∠BOQ=∠BAP，进而求得∠NOQ=60°，通过解直角三角形即可求得y与x之间的关系式．

解答：解：①当Q在x轴上方时，如图1，连接AQ，作QN⊥x轴于N，
∵△OAB和△BPQ都为等边三角形，
∴OB=AB，BP=BQ，
∠OBA=∠QBP=60°，即∠OBA+∠ABP=∠QBP+∠ABP，
∴∠OBP=∠ABQ，
在△OBP和△ABQ中

OB=AB ∠OBP=∠ABQ BP=BQ

∴△OBP≌△ABQ（SAS），
∴∠BAQ=∠BOP=60°，
又∵∠BAO=60°，
∴∠QAP=60°，
在直角三角形AQN中，tan60°=

QN

AN

，
∴

QN

x-2

=

3

则y=QN=

3

（x-2），
∴y与x之间的关系式是：y=

3

x-2

3

；
②当Q在x轴下方时，如图2，连接OQ，作QN⊥x轴于N，
∵△OAB和△BPQ都为等边三角形，
∴OB=AB，BP=BQ，
∠OBA=∠QBP=60°，即∠OBA-∠ABP=∠QBP-∠ABP，
∴∠OBQ=∠ABP，
在△OBQ和△ABP中，

OB=AB ∠OBQ=∠ABP BP=BQ

∴△OBQ≌△ABP（SAS），
∴∠BOQ=∠BAP，
∵∠BAP=∠AOB+∠ABO=120°，
∴∠BOQ=120°，
又∵∠BOA=60°，
∴∠NOQ=60°，
在直角三角形OQN中，tan60°=

QN

ON

，
∴

QN

x

=

3

，
则y=-QN=-

3

x，
∴y与x之间的关系式是：y=-

3

x；
综上，y与x之间的关系式是y=

3

x-2

3

或y=-

3

x．
故答案为y=

3

x-2

3

或y=-

3

x．

点评：此题综合考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质．求得三角形全等是本题的关键．