Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△PBQ是等腰直角三角形？
（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△PBQ的面积等于3cm²？
（3）如果P、Q分别从A、B同时出发，四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？

Answer 1

考点：一元二次方程的应用,等腰三角形的判定与性质

专题：几何动点问题

分析：（1）使△PQB为等腰三角形，则应有PB=BQ，就应有BA-AP=BQ，故设x秒后△PQB为等腰三角形，有PB=6-x=2x=BQ，解方程后可求解．
（2）设P，Q分别从A，B同时出发，y秒后，此时，AP=ycm，PB=（6-y）cm，BQ=2ycm，S_△PBQ=

1

2

×PB×BQ，然后根据已知条件可列出方程，求出答案即可．
（3）此题实际上是求P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm²．解法同（2）．

解答：解：（1）设x秒后△PQB为等腰直角三角形，
由题意得6-x=2x
解得x=2．
答：经过2秒△PQB为等腰三角形．

（2）设P，Q分别从A，B同时出发，y秒后△PBQ面积为3cm²，
则

1

2

•（6-y）•2y=3，
解得y₁=3+

6

（不合题意，舍去），y₂=3-

6

，
所以P，Q分别从A，B同时出发，3-

6

秒后△PBQ面积为3cm²；

（3）S_△ABC=

1

2

×6×8=24（cm²）．
∵四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二，
∴△PBQ的面积等于△ABC面积的三分之一．
设设P，Q分别从A，B同时出发，z秒后△PBQ面积为8cm²，
则

1

2

•（6-z）•2z=8，
解得z₁=2，z₂=4，
经检验，z₁=2，z₂=4均符合题意．
所以P，Q分别从A，B同时出发，2秒或4秒后四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二．

点评：本题考查了等腰三角形的判定；通过列方程求解是正确解答本题的关键．此题首先把PB，PQ用含x（y、z）代数式表示，然后利用三角形面积公式即可列方程求解．但应注意考虑解的合理性，即考虑解的取舍．