Question

用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，如果使三角尺60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕A点按逆时针方向旋转．如图，三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F．
（1）EC+CF的长度是否发生变化？并证明你的结论；
（2）连接EF，求△AEF的面积的最小值．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）易证AB=AC，∠ABC=∠ACD=60°，可得∠BAE=∠CAF，即可证明△ABE≌△ACF，可得BE=CF，即可解题；
（2）易证四边形AECF面积=S_△ABC，可得S_△AEF=S_△ABC-S_△CEF，因此在S_△CEF有最大值时S_△AEF有最小值，根据S_△CEF=

1

2

CE•CFsin120°可得关于CE的二次函数式，求出最大值，即可解题．

解答：（1）证明：∵△ABC，△ACD是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACD=60°，
∵∠BAE+∠CAE=60°，∠CAE+∠CAF=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，

∠BAE=∠CAF AB=AC ∠ABC=∠ACD=60°

，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF，
∴EC+CF=EC+BE=BC；
（2）解：∵△ABE≌△ACF，
∴四边形AECF面积=S_△ABC，
∴S_△AEF=S_△ABC-S_△CEF，
∴S_△CEF有最大值时S_△AEF有最小值，
设CF=x，
S_△CEF=

1

2

CE•CFsin120°=

3

4

（BC-x）x=

3

4

（-x²+BC•x），
∴当x=

BC

2

时，S_△CEF有最大值为

3

16

BC²，
∵S_△ABC=

1

2

AB•BCsin60°=

3

4

BC²，
∴S_△AEF有最小值为

3

4

BC²-

3

16

BC²=

3 3

16

BC²．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABE≌△ACF是解题的关键．