Question

已知：在∠ABC中，D是∠ABC平分线上一点，E、F分别在AB、BC上，且DE=DF． 试判断∠BED与∠BFD的关系并证明．
下面方框中是小明的判断与证明：
解：∠BED=∠BFD，
 证明如下：如图：过点D作DM⊥AB，DN⊥BC，垂足分别为M、N，
∴△DEM和△DFN是直角三角形，
∵BD是∠ABC的平分线，DM⊥AB，DN⊥BC，
∴DM=DN．
在Rt△DEM与Rt△DFN中，

DE=DF DM=DN

，
∴Rt△DEM≌Rt△DFN（HL），
∴∠MED=∠NFD，
∴∠BED=∠BFD．
数学老师认为小明的判断不完整，请你认真思考给出完整的判断并证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：阅读型

分析：分类讨论：（1）当DE在DM的左侧时，易证DM=DN．即可证明Rt△DEM≌Rt△DFN，可得∠MED=∠NFD，即可解题；
（2）当DE在DM的右侧时，同理可证Rt△DEM≌Rt△DFN，可得∠MED=∠NFD，即可解题．

解答：证明：∠BED=∠BFD 或∠BED+∠BFD=180°．
过点D作DM⊥AB，DN⊥BC，垂足分别为M、N，
（1）当DE在DM的左侧时，如图①，

∵BD是∠ABC的平分线，DM⊥AB，DN⊥BC，
∴DM=DN，
在Rt△DEM与Rt△DFN中，

DE=DF DM=DN

，
∴Rt△DEM≌Rt△DFN（HL），
∴∠MED=∠NFD，
∴∠BED=∠BFD；
（2）当DE在DM的右侧时，如图②，

同理可证Rt△DEM≌Rt△DFN，
∴∠MED=∠NFD，
又∵∠NFD+∠BFD=180°，
∴∠BED+∠BFD=180°．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证Rt△DEM≌Rt△DFN是解题的关键．