Question

如图1，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC=BC，CD=CE，AC＞CD，∠ACB=∠DCE且点A、D、E在同一直线上，连接BE．

（1）若∠ACB=60°，则∠AEB的度数为

 

；线段AD、BE之间的数量关系是

 

．
（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=90°，CM为△DCE中DE边上的高．
①求∠AEB的度数；
②若AC=

2

，BE=1，试求CM的长．（请写全必要的证明和计算过程）

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）易证∠ACD=∠BCE，即可证明△ACD≌△BCE，可得∠CDA=∠CEB，AD=BE，根据∠CDA=180°-∠CDE和∠CED=60°，即可求得∠AEB的值，即可解题；
（2）①易证∠ACD=∠BCE，即可证明△ACD≌△BCE，可得∠CDA=∠CEB，AD=BE，根据∠CDA=180°-∠CDE和∠CED=45°，即可求得∠AEB的值，即可解题；
②易证CM=DM，根据AD=BE即可求得AD的值，设CM=x，则AM=x+1，根据AC²=AM²+CM²，即可求得x的值，即可解题．

解答：解：（1）∵∠ACD+∠DCB=60°，∠DCB+∠BCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CDA=∠CEB，AD=BE，
∵∠CDA=180°-∠CDE=120°，∠CED=60°，
∴∠AEB=120°-60°=60°；
（2）①∵∠ACD+∠DCB=90°，∠DCB+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CDA=∠CEB，AD=BE，
∵∠CDA=180°-∠CDE=135°，∠CED=45°，
∴∠AEB=135°-45°=90°；
②∵CM⊥DE，△CDE是等腰直角三角形，
∴CM=DM，
∵AD=BE，
∴AD=1，
设CM=x，则AM=x+1，
∵AC²=AM²+CM²，
∴2=（x+1）²+x²，
解得：x=

3 -1

2

．
故答案为：60°，AD=BE．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ACD≌△BCE是解题的关键．