Question

已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D为BC边上一点．
（1）求证：△ACE≌△ABD；
（2）若AC=

8

，CD=1，求ED的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）易证∠EAC=∠DAB，即可证明△ACE≌△ABD；
（2）根据（1）中结论可得EC=BD，∠ACE=∠B=45°，即可求得∠ECD=90°，易求得BC得长，即可求得EC的长，在RT△ECD中，根据勾股定理即可求得DE的长，即可解题．

解答：（1）证明：∵∠EAC+∠CAD=∠EAD=90°，∠CAD+∠DAB=∠BAC=90°，
∴∠EAC=∠DAB，
在△ACE和△ABD中，

AE=AD ∠EAC=∠DAB AC=AB

，
∴△ACE≌△ABD（SAS）；
（2）解：∵△ACE≌△ABD，
∴EC=BD，∠ACE=∠B=45°，
∴∠ECD=∠ACE+∠ACB=90°，
∵等腰直角△ABC中，AC=

8

，
∴BC=

2

AC=4，
∴EC=BD=BC-CD=3，
∴在RT△ECD中，DE=

EC2+CD2

=

10

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求证△ACE≌△ABD是解题的关键．