Question

如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，则既平分△ABC周长又平分△ABC面积的直线有几条？

Answer 1

考点：面积及等积变换,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：分类讨论

分析：可运用勾股定理求出AB长，从而求出△ABC周长和面积；设既平分△ABC周长又平分△ABC面积的直线为m，可分三种情况（①直线m与边BC和边AB相交，②直线m与边AC和边AB相交，③直线m与边AC和边BC相交）进行讨论，然后只需根据条件建立方程，求出符合要求的未知数的值，就可解决问题．

解答：解：∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=

AC2+BC2

=5，
∴△ABC的周长为12，△ABC的面积=

1

2

×3×4=6．
设既平分△ABC周长又平分△ABC面积的直线为m，
①若直线m与边BC交于点P，与边AB交于点Q，过点P作PG⊥AB于G，设PB=x，如图1，
则∠PGB=∠C=90°，BQ=

12

2

-x=6-x，（0＜x≤4），S_△PQB=

1

2

S_△ABC=3，
∵∠B=∠B，∠PGB=∠C，
∴△PGB∽△ACB，
∴

PG

AC

=

PB

AB

，
∴

PG

3

=

x

5

，
∴PG=

3

5

x，
∴S_△PQB=

1

2

BQ•PG=

1

2

（6-x）•

3

5

x=3，
整理得：x²-6x+10=0．
∵△=（-6）²-4×1×10=-4＜0，
∴方程无解；
②若直线m与边AC交于点D，与边AB交于点E，过点D作DH⊥AB于H，设AD=y，如图2，
则∠AHD=∠C=90°，AE=

12

2

-x=6-y，（0＜y≤3），S_△ADE=

1

2

S_△ABC=3，
同理可得：DH=

4

5

y，
∴S_△ADE=

1

2

AE•DH=

1

2

（6-y）•

4

5

y=3，
整理得：2y²-12y+15=0．
∵△=（-12）²-4×2×15=24＞0，
∴y=

12± 24

2×2

=3±

6

2

．
∵0＜y≤3，
∴y=3-

6

2

；
③若直线m与边AC交于点M，与边BC交于点N，设CM=m，如图3，
则CN=

12

2

-m=6-m，（0＜m≤3），S_△CMN=

1

2

S_△ABC=3，
∴

1

2

m（6-m）=3，
整理得：m²-6m+6=0．
∵△=（-6）²-4×1×6=12＞0，
∴m=

6± 12

2×1

=3±

3

．
∵0＜m≤3，
∴m=3-

3

．
综上所述：既平分△ABC周长又平分△ABC面积的直线有2条．

点评：本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、运用公式法解一元二次方程、根的判别式、三角形的面积公式等知识，运用分类讨论的思想是解决本题的关键，需要注意的是：解方程后，应根据未知数的取值范围进行取舍．