Question

如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H，求证：
（1）DG²=BG•CG；
（2）BG•CG=GF•GH．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据题意结合图形，证明△BDC∽△DGC，列出比例式，化为等积式即可解决问题．
（2）方法同（1）中的解法，证明△BGH∽△FGC，列出比例式，化为等积式即可解决问题．

解答：证明：（1）∵BD⊥AC，DG⊥BC，
∴∠BDC=∠DGC=90°，
∠DBC+∠DCG=∠GDC+∠DCG，
∴∠GDC=∠DBC，
∴△BDC∽△DGC，
∴BG：DG=DG：CG，
即DG²=BG•CG．
（2）同（1）中的方法，同理可证：△BGH∽△FGC，
∴BG：GF=GH：CG，
∴BG•CG=GF•GH．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是深入观察分析、大胆猜测推理、合情变式探究、科学解答论证．