Question

如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点D是AE的中点，连接OD并延长交⊙O于点M，∠BOE=60°，cosC=

1

2

，BC=2

3

．
（1）求∠A的度数；
（2）求证：BC是⊙O的切线；
（3）求弧AM的长度．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）根据三角函数的知识即可得出∠A的度数．
（2）要证BC是⊙O的切线，只要证明AB⊥BC即可．
（3）根据垂径定理求得∠AOM=60°，运用三角函数的知识求出OA的长度，即可求得弧AM的长度．

解答：解：（1）∵OA=OE，
∴∠A=∠OEA，
∵∠BOE=∠A+∠OEA=2∠A，
∴∠A=

1

2

∠BOE=

1

2

×60°=30°；

（2）在△ABC中，∵cosC=

1

2

，
∴∠C=60°，
又∵∠A=30°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∵AB为直径，
∴BC是⊙O的切线；

（3）∵点D是AE的中点，
∴OM⊥AE，
∵∠A=30°，
∴∠AOM=60°，
在RT△ABC中，tanC=

AB

BC

，
∵BC=2

3

，
∴AB=BC•tanC=2

3

×

3

=6，
∴OA=

AB

2

=3，
∴弧AM的长=

60π×3

180

=π．

点评：本题综合考查了三角函数的知识、切线的判定以及弧形的长度．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．