Question

如图，△ACB为等腰直角三角形，AC⊥BC，AE∥BC，AF=AC，AM平分∠EAF．
（1）求证：∠AMC=45°；
（2）求证：AM⊥MB．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：（1）设∠ACF=∠F=α，∠FAM=∠EAM=β；运用三角形的内角和定理证明α+β=45°，即可解决问题．
（2）证明∠ABC=∠AMC，得到A、C、B、M四点共圆，进而得到∠AMB+∠ACB=180°，即可解决问题．

解答：证明：（1）∵AC=AF，AM平分∠EAF，
∴∠ACF=∠F（设为α），∠FAM=∠EAM（设为β）；
∵AC⊥BC，AE∥BC，
∴∠CAE+∠ACB=180°，∠ACB=90°，
∴∠CAE=90°；
∵∠CAF+∠F+∠ACF=180°，
∴2（α+β）+90°=180°，
∴α+β=45°，∠AMC=α+β=45°．
（2）∵△ACB为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，而∠AMC=45°，
∴∠ABC=∠AMC，
∴A、C、B、M四点共圆，
∴∠AMB+∠ACB=180°，而∠ACB=90°，
∴∠AMB=90°，AM⊥MB．

点评：该题主要考查了等腰直角三角形的性质及其应用问题；同时还渗透了对平行线的性质、三角形的内角和定理、四点共圆的判定等几何知识点的考查问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了一定的要求．