Question

如图，正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接BE、DE．F为BC上一点，且EF=EB．
（1）求证：EF⊥ED；
（2）若CF=AE，连接DF，求证：DF∥BE．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,解直角三角形

专题：证明题

分析：（1）过E点作EM⊥BC并反向延长交AD于N，可证明△DEN≌△BME，再结合正方形的性质可证明∠DEF=90°，可证得结论；
（2）分别在Rt△BEM和Rt△DCF中计算∠EBM和∠DFC的正切值，可证明∠EBM=∠DFC，可证得平行．

解答：证明：（1）如图，过E点作EM⊥BC并反向延长交AD于N，
∵正方形ABCD关于AC对称，
∴DE=BE，
又∵AC平分∠BAD，∠DAE=45°，
∴△AEN为等腰直角三角形，
∴BM=AN=NE，
在Rt△DEN和Rt△BME中，

EN=BM DE=BE

，
∴Rt△DEN≌Rt△BME（HL），
∴∠EDN=∠BEM，
∵BE=EF，EM⊥BF，
∴∠BEM=∠FEM，
∴∠EDN=∠FEM，
又∵∠NED+NDE=90°，
∴∠NED+∠MEF=90°，
∴∠DEF=90°，即DE⊥EF；
（2）设AN=BM=MF=1，则AE=CF=

2

，
∴BC=MN=2+

2

，
在Rt△BEM中，tan∠EBM=

EM

BM

=

2 +1

1

=

2

+1，
在Rt△DCF中，tan∠DFC=

DC

CF

=

2 +2

2

=

2

+1，
∴tan∠EBM=tan∠DFC，
∴∠EBM=∠DFC，
∴DF∥BE．

点评：本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质，在（1）中构造三角形全等是解题的关键，注意利用等腰三角形的性质，在（2）中利用三角函数值相等可得到角相等是常用的方法．