Question

【题目】已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△OAB的顶点A、B的坐标分别是A（0，5），B（3，1），过点B画BC⊥AB交直线y=﹣m（m＞ ）于点C，连结AC，以点A为圆心，AC为半径画弧交x轴负半轴于点D，连结AD、CD．

（1）求证：△ABC≌△AOD；
（2）设△ACD的面积为S，求S关于m的函数关系式；
（3）若四边形ABCD恰有一组对边平行，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：∵A（0，5），B（3，1），

∴AB= =5，

∴AB=OA，

∵AB⊥BC，

∴∠ABC=90°，

在Rt△ABC和Rt△AOD中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△AOD

（2）解：解：过点B作直线BE⊥直线y=﹣m于E，作AF⊥BE于F，如图，

∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，

∴∠2=∠3，

∴Rt△ABF∽Rt△BCE，

∴ ，即 ，

∴BC= (m+1），

在Rt△ACB中，AC2=AB2+BC2=25+ （m+1）2，

∵△ABC≌△AOD，

∴∠BAC=∠OAD，即∠4+∠OAC=∠OAC+∠5，

∴∠4=∠5，

而AO=AB，AD=AC，

∴△AOB∽△ACD，

∴ = ，

而S△AOB= ×5×3= ，

∴S= （m+1）2+ （m＞ ）

（3）解：作BH⊥y轴于H，如图，

当AB∥CD时，则∠ACD=∠CAB，

而△AOB∽△ACD，

∴∠ACD=∠AOB，

∴∠CAB=∠AOB，

而tan∠AOB= =3，tan∠ACB= = = ，

∴ =3，解得m=8；

当AD∥BC，则∠5=∠ACB，

而△AOB∽△ACD，

∴∠4=∠5，

∴∠ACB=∠4，

而tan∠4= ，tan∠ACB= ，

∴ = ，

解得m=3．

综上所述，m的值为3或8

【解析】（1）由A、B两点坐标根据勾股定理求出AB的值，根据HL得到Rt△ABC≌Rt△AOD；（2）根据题意得到Rt△ABF∽Rt△BCE，得到比例，求出BC的值，得到△AOB∽△ACD，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，求出S关于m的函数关系式；（3）由△AOB∽△ACD，得到比例，再根据三角函数值求出m的值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方，以及对锐角三角函数的定义的理解，了解锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数．