Question

12．如图，在△ABC中，AB=AC=2，点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），∠B=40°，连结AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠ADB=115°时，∠DEC=115°．
（2）在D运动过程中，有没有可能使得△ABD与△DCE全等？如有可能，求出CD的长度；如没有可能，请说明理由．
（3）若△ADE是等腰三角形，求∠BAD的大小．

Answer 1

分析 （1）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；
（2）当DC=2时，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出△ABD≌△DCE；
（3）分类谈论：①若AD=AE时；②若DA=DE时，③若EA=ED时，即可解题．

解答 解：（1）∵AB=AC，∠B=40°，
∴∠C=∠B=40°．
∵∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=180°-115°-40°=25°．
∴∠DEC=180°-40°-25°=115°．
故答案为：115；

（2）当DC=2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C=40°，
∴∠DEC+∠EDC=140°，
又∵∠ADE=40°，
∴∠ADB+∠EDC=140°，
∴∠ADB=∠DEC，
又∵AB=DC=2，
在△ABD和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}∠ADB=∠DEC\\∠B=∠C\\ AB=DC\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；

（3）∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
①若AD=AE时，则∠ADE=∠AED=40°，
∵∠AED＞∠C，
∴△ADE不可能是等腰三角形；
②若DA=DE时，即∠DAE=∠DEA=$\frac{1}{2}$（180°-40°）=70°，
∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，
∴∠BAD=100°-70°=30°；
③若EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，
∴∠BAD=100°-40°=60°，
∴当∠BAD=30°或60°时，△ADE是等腰三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，考查了等腰三角形的判定和腰长相等的性质．运用分类讨论解本题是解题的关键．