Question

已知，如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD垂直于经过点C的直线DE，垂足为点D，AC平分∠DAB．

（1）求证：直线DE是⊙O的切线；

（2）连接BC，猜想：∠ECB与∠CAB的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

【考点】切线的判定．

【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质和已知条件得出∠ACO=∠DAC，证出AD∥OC，再由已知条件得出OC⊥DE，即可得出直线DE是⊙O的切线；

（2）由圆周角定理得出∠ACB=90°，得出∠CAB+∠B=90°，得出∠ECB+∠BCO=90°，由等腰三角形的性质得出∠B=∠BCO，即可得出结论．

【解答】（1）证明：连接OC，如图1所示：

∵OA=OC，

∴∠BAC=∠ACO，

∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠BAC，

∴∠ACO=∠DAC，

∴AD∥OC，

∵AD⊥DE，

∴OC⊥DE，

∴直线DE是⊙O的切线；

（2）解：如图2所示：∠ECB=∠CAB，理由如下：

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠CAB+∠B=90°，

∵OC⊥DE，

∴∠ECB+∠BCO=90°，

∵OC=OB，

∴∠B=∠BCO，

∴∠ECB=∠CAB．

【点评】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定、圆周角定理；熟练掌握切线的判定方法，由等腰三角形的性质得出角相等是解决问题的关键．