Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同长度为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF．若四边形ABEF的周长为16，∠C＝60°，则四边形ABEF的面积是___．

Answer 1

【答案】8.

【解析】

由作法得AE平分∠BAD，AB=AF，所以∠1=∠2，再证明AF=BE，则可判断四边形AFEB为平行四边形，于是利用AB=AF可判断四边形ABEF是菱形；根据菱形的性质得AG=EG，BF⊥AE，求出BF和AG的长，即可得出结果．

由作法得AE平分∠BAD，AB＝AF，

则∠1＝∠2，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴BE∥AF，∠BAF＝∠C＝60°，

∴∠2＝∠BEA，

∴∠1＝∠BEA＝30°，

∴BA＝BE，

∴AF＝BE，

∴四边形AFEB为平行四边形，△ABF是等边三角形，

而AB＝AF，

∴四边形ABEF是菱形；

∴BF⊥AE，AG＝EG，

∵四边形ABEF的周长为16，

∴AF＝BF＝AB＝4，

在Rt△ABG中，∠1＝30°，

∴BG＝AB＝2，AG＝BG＝2，

∴AE＝2AG＝，

∴菱形ABEF的面积；

故答案为：