如图.已知四边形ABCD是平行四边形.AC为对角线.∠DAC=30°.∠ACD=90°.AD=8.点M为AC的中点.动点E从点C出发以每秒1个单位的速度运动到点B停止.连接EM并延长交AD于点F.设点E的运动时间为t秒．(1)求四边形ABCD的面积,(2)当∠EMC=90°时.判断四边形DCEF的形状.并说明理由,(3)连接BM.点E在运动过程中是否能使△BEM为等腰三� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC为对角线，∠DAC=30°，∠ACD=90°，AD=8，点M为AC的中点，动点E从点C出发以每秒1个单位的速度运动到点B停止，连接EM并延长交AD于点F，设点E的运动时间为t秒．
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）当∠EMC=90°时，判断四边形DCEF的形状，并说明理由；
（3）连接BM，点E在运动过程中是否能使△BEM为等腰三角形？如果能，求出t；如果不能，请说明理由．

分析（1）利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求得平行四边形的定和高，再利用底乘以高计算面积；
（2）结合∠EMC=90°以及平行四边形的性质，可证明四边形DCEF是平行四边形，再通过计算得到平行四边形CDFE的一组邻边相等即可证得结论；
（3）探究△BEM为等腰三角形，要分三种情况进行讨论：EB=EM，EB=BM，EM=BM．通过相应的计算表示出BE，EM，BM，然后利用边相等建立方程进行求解．

解答解：（1）∵∠DAC=30°，∠ACD=90°，AD=8，
∴CD=4，AC=4$\sqrt{3}$．
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD的面积为4×4$\sqrt{3}$=16$\sqrt{3}$．
（2）如图1，当∠EMC=90°时，四边形DCEF是菱形．

∵∠EMC=∠ACD=90°，
∴DC∥EF．
∵BC∥AD，
∴四边形DCEF是平行四边形，∠BCA=∠DAC
．由（1）可知：CD=4，AC=4$\sqrt{3}$．
∵点M为AC的中点，
∴CM=2$\sqrt{3}$．
在Rt△EMC中，∠CME=90°，∠BCA=30°．
∴CE=2ME，可得ME²+（2$\sqrt{3}$）²=（2ME）²，
解得：ME=2．
∴CE=2ME=4．
∴CE=DC．
又∵四边形DCEF是平行四边形，
∴四边形DCEF是菱形．
（3）点E在运动过程中能使△BEM为等腰三角形．
理由：如图2，过点B作BG⊥AD与点G，过点E作EH⊥AD于点H，连接DM．

∵DC∥AB，∠ACD=90°，
∴∠CAB=90°．
∴∠BAG=180°-30°-90°=60°．
∴∠ABG=30°．
∴AG=$\frac{1}{2}AB$=2，BG=2$\sqrt{3}$．
∵点E的运动速度为每秒1个单位，运动时间为t秒，
∴CE=t，BE=8-t．
在△CEM和△AFM中$\left\{\begin{array}{l}{∠BCM=∠MAF}\\{MC=AM}\\{∠CME=∠AMF}\end{array}\right.$，
∴△CEM≌△AFM．
∴ME=MF，CE=AF=t．
∴HF=HG-AF-AG=BE-AF-AG=8-t-2-t=6-2t．
∵EH=BG=2$\sqrt{3}$，
∴在Rt△EHF中，ME=$\frac{1}{2}EF$=$\frac{1}{2}\sqrt{E{H}^{2}+H{F}^{2}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{12+（6-2t）^{2}}$．
∵M为平行四边形ABCD对角线AC的中点，
∴D，M，B共线，且DM=BM．
∵在Rt△DBG中，DG=AD+AG=10，BG=2$\sqrt{3}$，
∴BM=$\frac{1}{2}×4\sqrt{7}$=2$\sqrt{7}$．
要使△BEM为等腰三角形，应分以下三种情况：
当EB=EM时，有$（8-t）^{2}=\frac{1}{4}[12+（6-2t）^{2}]$，
解得：t=5.2．
当EB=BM时，有8-t=2$\sqrt{7}$，
解得：t=8-2$\sqrt{7}$．
当EM=BM时，由题意可知点E与点B重合，此时点B、E、M不构成三角形．
综上所述，当t=5.2或t=8-2$\sqrt{7}$时，△BEM为等腰三角形．

点评本题主要考查的是平行四边形的性质、菱形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、含30度直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用，分三种情况EB=EM，EB=BM，EM=BM讨论是解题的关键．

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