精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

【题目】如图,抛物线y=ax2+6x+cx轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x﹣5经过点B,C.

(1)求抛物线的解析式;

(2)过点A的直线交直线BC于点M.

①当AMBC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标;

②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB2倍时,请直接写出点M的坐标.

【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5;(2)P点的横坐标为4②点M的坐标为(,﹣)或(,﹣).

【解析】(1)利用一次函数解析式确定C(0,-5),B(5,0),然后利用待定系数法求抛物线解析式;

(2)①先解方程-x2+6x-5=0A(1,0),再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°,则△AMB为等腰直角三角形,所以AM=2,接着根据平行四边形的性质得到PQ=AM=2,PQ⊥BC,作PD⊥x轴交直线BCD,如图1,利用∠PDQ=45°得到PD=PQ=4,设P(m,-m2+6m-5),则D(m,m-5),讨论:当P点在直线BC上方时,PD=-m2+6m-5-(m-5)=4;当P点在直线BC下方时,PD=m-5-(-m2+6m-5),然后分别解方程即可得到P点的横坐标;

②作AN⊥BCN,NH⊥x轴于H,作AC的垂直平分线交BCM1,交ACE,如图2,利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB,再确定N(3,-2)

AC的解析式为y=5x-5,E点坐标为(,-),利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=-x+b,把E(,-)代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-x-,则解方程组M1点的坐标;作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2,如图2,利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB,设M2(x,x-5),根据中点坐标公式得到3=,然后求出x即可得到M2的坐标,从而得到满足条件的点M的坐标.

1)当x=0时,y=x5=5,则C0,﹣5),

y=0时,x5=0,解得x=5,则B50),

B50),C0,﹣5)代入y=ax2+6x+c

,解得

∴抛物线解析式为y=x2+6x5

2)①解方程﹣x2+6x5=0x1=1x2=5,则A10),

B50),C0,﹣5),

OCB为等腰直角三角形,

∴∠OBC=OCB=45°

AMBC

∴△AMB为等腰直角三角形,

AM=AB=×4=2

∵以点AMPQ为顶点的四边形是平行四边形,AMPQ

PQ=AM=2PQBC

PDx轴交直线BCD,如图1,则∠PDQ=45°

PD=PQ=×2=4

Pm,﹣m2+6m5),则Dmm5),

P点在直线BC上方时,

PD=m2+6m5﹣(m5=m2+5m=4,解得m1=1m2=4

P点在直线BC下方时,

PD=m5﹣(﹣m2+6m5=m25m=4,解得m1=m2=

综上所述,P点的横坐标为4

②作ANBCNNHx轴于H,作AC的垂直平分线交BCM1,交ACE,如图2

M1A=M1C

∴∠ACM1=CAM1

∴∠AM1B=2ACB

∵△ANB为等腰直角三角形,

AH=BH=NH=2

N3,﹣2),

易得AC的解析式为y=5x5E点坐标为(,﹣

设直线EM1的解析式为y=x+b

E,﹣)代入得﹣+b=,解得b=

∴直线EM1的解析式为y=x

解方程组,则M1,﹣);

作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2,如图2,则∠AM2C=AM1B=2ACB

M2xx5),

3=

x=

M2,﹣.

综上所述,点M的坐标为(,﹣)或(,﹣).

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图1,将一个边长为a厘米的正方形纸片剪去两个小矩形,得到图案,如图2所示,再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形,如图3所示:

(1)列式表示新矩形的周长为______厘米(化到最简形式)

(2)如果正方形纸片的边长为8厘米,剪去的小矩形的宽为1厘米,那么所得图形的周长为______厘米.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】为了解甲、乙两班英语口语水平,每班随机抽取了10名学生进行了口语测验,测验成绩满分为10分,参加测验的10名学生成绩(单位:分)称为样本数据,抽样调查过程如下:

收集数据

甲、乙两班的样本数据分别为:

甲班:6 7 9 4 6 7 6 9 6 10

乙班:7 8 9 7 5 7 8 5 9 5

整理和描述数据

规定了四个层次:9分以上(含9分)为优秀”,8-9分(含8分)为良好”,6-8分(含6分)为一般”,6分以下(不含6分)为不合格。按以上层次分布绘制出如下的扇形统计图。

请计算:(1)图1中,不合格层次所占的百分比;

(2)图2中,优秀层次对应的圆心角的度数。

分析数据

对于甲、乙两班的样本数据,请直接回答:

(1)甲班的平均数是7,中位数是_____;乙班的平均数是_____,中位数是7;

(2)从平均数和中位数看,____班整体成绩更好。

解决问题

若甲班50人,乙班40人,通过计算,估计甲、乙两班不合格层次的共有多少人?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,BDE在一条直线上,AB=ACAD=AE,∠BAC=DAE

1)求证:BD=CE

2)猜想∠1、∠2、∠3的数量关系,并说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,AB是⊙O的直径,DOAB于点O,连接DA交⊙O于点C,过点C作⊙O的切线交DO于点E,连接BCDO于点F.

(1)求证:CE=EF;

(2)连接AF并延长,交⊙O于点G.填空:

①当∠D的度数为   时,四边形ECFG为菱形;

②当∠D的度数为   时,四边形ECOG为正方形.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】ABC 中,AB15AC13,高 AD12,则ABC 的周长是(

A. 42B. 32C. 42 32D. 42 37

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,将长方形ABCD沿着对角线BD折叠,使点C落在处,AD于点E

(1)试判断△BDE的形状,并说明理由;

(2)若,求△BDE的面积.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图DE⊙O的直径过点D⊙O的切线ADCAD的中点AE⊙O于点B且四边形BCOE是平行四边形

(1)BC⊙O的切线吗?若是给出证明若不是请说明理由;

(2)⊙O半径为1AD的长

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,已知AB是⊙O上的点,C是⊙O上的点,点DAB的延长线上,∠BCD=BAC.

(1)求证:CD是⊙O的切线;

(2)若∠D=30°,BD=2,求图中阴影部分的面积.

查看答案和解析>>

同步练习册答案