【题目】如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x﹣5经过点B,C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点A的直线交直线BC于点M.
①当AM⊥BC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标;
②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时,请直接写出点M的坐标.
【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5;(2)①P点的横坐标为4或或;②点M的坐标为(,﹣)或(,﹣).
【解析】(1)利用一次函数解析式确定C(0,-5),B(5,0),然后利用待定系数法求抛物线解析式;
(2)①先解方程-x2+6x-5=0得A(1,0),再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°,则△AMB为等腰直角三角形,所以AM=2,接着根据平行四边形的性质得到PQ=AM=2,PQ⊥BC,作PD⊥x轴交直线BC于D,如图1,利用∠PDQ=45°得到PD=PQ=4,设P(m,-m2+6m-5),则D(m,m-5),讨论:当P点在直线BC上方时,PD=-m2+6m-5-(m-5)=4;当P点在直线BC下方时,PD=m-5-(-m2+6m-5),然后分别解方程即可得到P点的横坐标;
②作AN⊥BC于N,NH⊥x轴于H,作AC的垂直平分线交BC于M1,交AC于E,如图2,利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB,再确定N(3,-2),
AC的解析式为y=5x-5,E点坐标为(,-),利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=-x+b,把E(,-)代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-x-,则解方程组得M1点的坐标;作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2,如图2,利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB,设M2(x,x-5),根据中点坐标公式得到3=,然后求出x即可得到M2的坐标,从而得到满足条件的点M的坐标.
(1)当x=0时,y=x﹣5=﹣5,则C(0,﹣5),
当y=0时,x﹣5=0,解得x=5,则B(5,0),
把B(5,0),C(0,﹣5)代入y=ax2+6x+c得
,解得,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5;
(2)①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1,x2=5,则A(1,0),
∵B(5,0),C(0,﹣5),
∴△OCB为等腰直角三角形,
∴∠OBC=∠OCB=45°,
∵AM⊥BC,
∴△AMB为等腰直角三角形,
∴AM=AB=×4=2,
∵以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,AM∥PQ,
∴PQ=AM=2,PQ⊥BC,
作PD⊥x轴交直线BC于D,如图1,则∠PDQ=45°,
∴PD=PQ=×2=4,
设P(m,﹣m2+6m﹣5),则D(m,m﹣5),
当P点在直线BC上方时,
PD=﹣m2+6m﹣5﹣(m﹣5)=﹣m2+5m=4,解得m1=1,m2=4,
当P点在直线BC下方时,
PD=m﹣5﹣(﹣m2+6m﹣5)=m2﹣5m=4,解得m1=,m2=,
综上所述,P点的横坐标为4或或;
②作AN⊥BC于N,NH⊥x轴于H,作AC的垂直平分线交BC于M1,交AC于E,如图2,
∵M1A=M1C,
∴∠ACM1=∠CAM1,
∴∠AM1B=2∠ACB,
∵△ANB为等腰直角三角形,
∴AH=BH=NH=2,
∴N(3,﹣2),
易得AC的解析式为y=5x﹣5,E点坐标为(,﹣,
设直线EM1的解析式为y=﹣x+b,
把E(,﹣)代入得﹣+b=﹣,解得b=﹣,
∴直线EM1的解析式为y=﹣x﹣
解方程组得,则M1(,﹣);
作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2,如图2,则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB,
设M2(x,x﹣5),
∵3=
∴x=,
∴M2(,﹣).
综上所述,点M的坐标为(,﹣)或(,﹣).
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【题目】如图1,将一个边长为a厘米的正方形纸片剪去两个小矩形,得到图案,如图2所示,再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形,如图3所示:
(1)列式表示新矩形的周长为______厘米(化到最简形式)
(2)如果正方形纸片的边长为8厘米,剪去的小矩形的宽为1厘米,那么所得图形的周长为______厘米.
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【题目】为了解甲、乙两班英语口语水平,每班随机抽取了10名学生进行了口语测验,测验成绩满分为10分,参加测验的10名学生成绩(单位:分)称为样本数据,抽样调查过程如下:
收集数据
甲、乙两班的样本数据分别为:
甲班:6 7 9 4 6 7 6 9 6 10
乙班:7 8 9 7 5 7 8 5 9 5
整理和描述数据
规定了四个层次:9分以上(含9分)为“优秀”,8-9分(含8分)为“良好”,6-8分(含6分)为“一般”,6分以下(不含6分)为“不合格”。按以上层次分布绘制出如下的扇形统计图。
请计算:(1)图1中,“不合格”层次所占的百分比;
(2)图2中,“优秀”层次对应的圆心角的度数。
分析数据
对于甲、乙两班的样本数据,请直接回答:
(1)甲班的平均数是7,中位数是_____;乙班的平均数是_____,中位数是7;
(2)从平均数和中位数看,____班整体成绩更好。
解决问题
若甲班50人,乙班40人,通过计算,估计甲、乙两班“不合格”层次的共有多少人?
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【题目】如图,B、D、E在一条直线上,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,
(1)求证:BD=CE
(2)猜想∠1、∠2、∠3的数量关系,并说明理由.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,DO⊥AB于点O,连接DA交⊙O于点C,过点C作⊙O的切线交DO于点E,连接BC交DO于点F.
(1)求证:CE=EF;
(2)连接AF并延长,交⊙O于点G.填空:
①当∠D的度数为 时,四边形ECFG为菱形;
②当∠D的度数为 时,四边形ECOG为正方形.
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【题目】△ABC 中,AB=15,AC=13,高 AD=12,则△ABC 的周长是( )
A. 42B. 32C. 42 或 32D. 42 或 37
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【题目】如图,将长方形ABCD沿着对角线BD折叠,使点C落在处,交AD于点E.
(1)试判断△BDE的形状,并说明理由;
(2)若,,求△BDE的面积.
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【题目】如图,DE是⊙O的直径,过点D作⊙O的切线AD,C是AD的中点,AE交⊙O于点B,且四边形BCOE是平行四边形。
(1)BC是⊙O的切线吗?若是,给出证明:若不是,请说明理由;
(2)若⊙O半径为1,求AD的长。
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【题目】如图,已知AB是⊙O上的点,C是⊙O上的点,点D在AB的延长线上,∠BCD=∠BAC.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若∠D=30°,BD=2,求图中阴影部分的面积.
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