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【题目】如图,AB是⊙O的直径,DOAB于点O,连接DA交⊙O于点C,过点C作⊙O的切线交DO于点E,连接BCDO于点F.

(1)求证:CE=EF;

(2)连接AF并延长,交⊙O于点G.填空:

①当∠D的度数为   时,四边形ECFG为菱形;

②当∠D的度数为   时,四边形ECOG为正方形.

【答案】(1)证明见解析;(2)30°;22.5°.

【解析】(1)连接OC,如图,利用切线的性质得∠1+4=90°,再利用等腰三角形和互余证明∠1=2,然后根据等腰三角形的判定定理得到结论;

(2)①当∠D=30°时,∠DAO=60°,证明CEFFEG都为等边三角形,从而得到EF=FG=GE=CE=CF,则可判断四边形ECFG为菱形;

②当∠D=22.5°时,∠DAO=67.5°,利用三角形内角和计算出∠COE=45°,利用对称得∠EOG=45°,则∠COG=90°,接着证明OEC≌△OEG得到∠OEG=OCE=90°,从而证明四边形ECOG为矩形,然后进一步证明四边形ECOG为正方形.

(1)证明:连接OC,如图,

.

CE为切线,

OCCE

∴∠OCE=90°,即∠1+4=90°

DOAB

∴∠3+B=90°

而∠2=3

∴∠2+B=90°

OB=OC

∴∠4=B

∴∠1=2

CE=FE;

(2)解:①当∠D=30°时,∠DAO=60°

AB为直径,

∴∠ACB=90°

∴∠B=30°

∴∠3=2=60°

CE=FE

∴△CEF为等边三角形,

CE=CF=EF

同理可得∠GFE=60°

利用对称得FG=FC

FG=EF

∴△FEG为等边三角形,

EG=FG

EF=FG=GE=CE

∴四边形ECFG为菱形;

②当∠D=22.5°时,∠DAO=67.5°

OA=OC

∴∠OCA=OAC=67.5°

∴∠AOC=180°-67.5°-67.5°=45°

∴∠AOC=45°

∴∠COE=45°

利用对称得∠EOG=45°

∴∠COG=90°

易得OEC≌△OEG

∴∠OEG=OCE=90°

∴四边形ECOG为矩形,

OC=OG

∴四边形ECOG为正方形.

故答案为30°,22.5°.

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甲种原料(单位:千克)

乙种原料(单位:千克)

生产成本(单位:元)

A商品

3

2

120

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3.5

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