Question

17．阅读材料：配方法不仅是解一元二次方程的有效方法，也常用于二次三项式的恒等变形．例如，根据解决问题的不同需要，我们可把二次三项式x²-2x+4配方成（x-1）²+3，（x-2）²+2x，（$\frac{1}{2}$x-2）²+$\frac{3}{4}$x²三种不同形式（横线上的部分分别是常数项．一次项和二次项）．
（1）比照上面的例子，写出x²-4x+2三种不同形式的配方；
（2）将a²+ab+b²配方（至少两种形式）；
（3）已知a²+b²+c²-ab-3b+3=0，求a+b+c的值；
（4）利用配方法分解因式：x²+2ax-3a²．

Answer 1

分析 （1）（2）本题考查对完全平方公式的灵活应用能力，由题中所给的已知材料可得x²-4x+2和a²+ab+b²的配方也可分别常数项、一次项、二次项三种不同形式；
（3）通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值；
（4）先利用完全平方公式，再利用平方差公式因式分解即可．

解答 解：（1）x²-4x+2的三种配方分别为：
x²-4x+2=（x-2）²-2，
x²-4x+2=（x+$\sqrt{2}$）²-（2$\sqrt{2}$+4）x，
x²-4x+2=（$\sqrt{2}$x-$\sqrt{2}$）²-x²；

（2）a²+ab+b²=（a+b）²-ab，
a²+ab+b²=（a+$\frac{1}{2}$b）²+$\frac{3}{4}$b²；

（3）a²+b²+c²-ab-3b-2c+4，
=（a²-ab+$\frac{1}{4}$b²）+（$\frac{3}{4}$b²-3b+3）+（c²-2c+1），
=（a²-ab+$\frac{1}{4}$b²）+$\frac{3}{4}$（b²-4b+4）+（c²-2c+1），
=（a-$\frac{1}{2}$b）²+$\frac{3}{4}$（b-2）²+（c-1）²=0，
从而有a-$\frac{1}{2}$b=0，b-2=0，c-1=0，
即a=1，b=2，c=1，
∴a+b+c=4；

（4）x²+2ax-3a²
=x²+2ax+a²-4a²
=（x+a）²-4a²
=（x+a+2a）（x+a-2a）
=（x+3a）（x-a）．

点评 本题考查了配方法的运用，根据完全平方公式：a²±2ab+b²=（a±b）²进行配方的能力．