Question

如图，四边形ABCD中AD=AB，∠DAB+∠BCD=180°，求证：CA平分∠DCB．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：作AE⊥BC，AF⊥CD延长线于F点，易证∠B=∠ADF，即可证明△ABE≌△ADF，可得AE=AF，即可证明RT△ACE≌RT△ACF，可得∠ACB=∠ACD，即可解题．

解答：证明：作AE⊥BC，AF⊥CD延长线于F点，

∵∠DAB+∠BCD=180°，
∴∠B+∠ADC=180°，
∵∠ADC+∠ADF=180°，
∴∠B=∠ADF，
∵在△ABE和△ADF中，

∠AEB=∠AFD=90° ∠B=∠ADF AB=AD

，
∴△ABE≌△ADF，（AAS）
∴AE=AF，
∵在RT△ACE和RT△ACF中，

AE=AF AC=AC

，
∴RT△ACE≌RT△ACF，（HL）
∴∠ACB=∠ACD，
∴CA平分∠DCB．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ABE≌△ADF和RT△ACE≌RT△ACF是解题的关键．