Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=3，D为BC边的中点，∠MDN=90°，将∠MDN绕点D顺时针旋转，它的两边分别交AB、AC于点E、F．
（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）求四边形AEDF的面积；
（3）连结EF．
①当点F在AC边上时总有BE

 

EF（填“＞”或“＜”或“=”），请说明理由；
②若BE=2，求EF的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）易证AD=DC，∠ADE=∠CDF，即可证明△ADE≌△CDF，即可解题；
（2）根据（1）中结论可得四边形AEDF的面积=S_△ADC=

1

2

S_△ABC，即可解题；
（3）①易证BE=AF，即可求得AF＜EF，即可解题；
②根据BE的长即可求得AE，AF的长，即可求得EF的长，即可解题．

解答：（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，D为BC中点，
∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°，∠ADC=90°，
∴AD=DC=BD，
∵∠ADE+∠ADF=90°，∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，

∠ADE=∠CDF AD=CD ∠BAD=∠C=45°

，
∴△ADE≌△CDF（ASA）；
（2）解：∵△ADE≌△CDF，
∴四边形AEDF的面积=S_△ADC=

1

2

S_△ABC，
∵S_△ABC=

1

2

AB•AC=

9

2

，
∴四边形AEDF的面积=

9

4

；
（3）解：①∵△ADE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵AB=AC，
∴BE=AF，
∵FA⊥EA，
∴AF＜EF，即BE＜EF；
②∵AB=AC=3，BE=2，
∴AE=1，AF=BE=2，
∴EF=

AE2+AF2

=

5

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求证是解题的关键．