Question

9．变式：如图，AD是⊙O的直径，AD⊥BC，△ABF与△ACB相似吗？

Answer 1

分析 先利用垂直的定义得到∠C+∠CAE=90°，再根据圆周角定理，由AD为直径得到∠AFD=90°，则∠ADF+∠DAF=90°，则利用等角的余角相等得∠ADF=∠C，然后根据圆周角定理可得∠ABF=∠ADF，得出∠C=∠ABF，再由公共角，即可得出结论．

解答 解：△ABF∽△ACB．理由如下：
连结DF，如图所示，
∵AD⊥BC，
∴∠C+∠CAE=90°，
∵AD为直径，
∴∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠ADF=∠C，
∵∠ABF=∠ADF，
∴∠C=∠ABF，
∵∠BAF=∠CAB，
∴△ABF∽△ACB．

点评 本题考查了相似三角形的判定方法、圆周角定理；熟练掌握相似三角形的判定方法，证出∠C=∠ABF是解决问题的关键．