Question

【题目】如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是AD上的点，且AE=EF=FD．连接BE、BF，使它们分别与AO相交于点G、H．

（1）求EG：BG的值；

（2）求证：AG=OG；

（3）设AG=a，GH=b，HO=c，求a：b：c的值．

Answer 1

【答案】（1）1：3；（2）见解析；（3）5：3：2．

【解析】

（1）根据平行四边形的性质可得AO=AC，AD=BC，AD∥BC，从而可得△AEG∽△CBG，由AE=EF=FD可得BC=3AE，然后根据相似三角形的性质，即可求出EG：BG的值；

（2）根据相似三角形的性质可得GC=3AG，则有AC=4AG，从而可得AO=AC=2AG，即可得到GO=AO﹣AG=AG；

（3）根据相似三角形的性质可得AG=AC，AH=AC，结合AO=AC，即可得到a=AC，b=AC，c=AC，就可得到a：b：c的值．

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=AC，AD=BC，AD∥BC，

∴△AEG∽△CBG，

∴．

∵AE=EF=FD，

∴BC=AD=3AE，

∴GC=3AG，GB=3EG，

∴EG：BG=1：3；

（2）∵GC=3AG（已证），

∴AC=4AG，

∴AO=AC=2AG，

∴GO=AO﹣AG=AG；

（3）∵AE=EF=FD，

∴BC=AD=3AE，AF=2AE．

∵AD∥BC，

∴△AFH∽△CBH，

∴，

∴=，即AH=AC．

∵AC=4AG，

∴a=AG=AC，

b=AH﹣AG=AC﹣AC=AC，

c=AO﹣AH=AC﹣AC=AC，

∴a：b：c=：：=5：3：2．