Question

【题目】如图 ，CE 平分∠ACD，AE 平分∠BAC，∠EAC+∠ACE＝90°．

（1）请判断 AB 与 CD 的位置关系，并说明理由；

（2）如图，在（1）的结论下，当∠E＝90°保持不变时，移动直角顶点 E，使∠MCE＝∠ECD， 当直角顶点 E 点移动时，请确定∠BAE 与∠MCD 的数量关系，并说明理由；

（3）如图，在（1）的结论下，P 为线段 AC 上的一个定点，点 Q 为直线 CD 上的一个动点，当点 Q 在射线 CD 上运动时（点 C 除外）∠BAC 与∠CPQ+∠CQP 有何数量关系？为什么？

Answer 1

【答案】（1）AB∥CD，理由见解析；（2）∠BAE+∠MCD =90°，理由见解析；（3）∠BAC =∠CPQ+∠CQP，理由见解析

【解析】

（1）根据角平分线定义得出∠ACD=2∠ACE，∠BAC=2∠EAC，求出∠ACD+∠BAC=180°，根据平行线的判定即可得出结论；
（2）作EF∥AB，易得EF∥CD∥AB，根据平行线的性质得出∠BAE=∠AEF， ∠FEC=∠ECD，再由∠AEF+∠FEC=90°，通过等量代换后即可得出结论；
（3）作PM∥AB，易得PM∥CD∥AB，根据平行线的性质得出∠BAC=∠MPC，∠MPQ=∠CQP，由∠MPC=∠MPQ+∠CPQ，通过等量代换后即可得出结论．

（1）AB∥CD，理由如下：

∵CE 平分∠ACD，AE 平分∠BAC，

∴∠ACD=2∠ACE，∠BAC=2∠EAC，

又∵∠EAC+∠ACE＝90°

∴∠ACD+∠BAC=2（∠ACE+∠EAC）=180°

∴AB∥CD

（2）∠BAE+∠MCD =90°，理由如下：

如图所示，作EF∥AB，

∵AB∥CD

∴EF∥CD∥AB

∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠ECD

∵∠E=90°，即∠AEF+∠FEC=90°

∴∠BAE+∠ECD=90°

又∵∠MCE＝∠ECD

∴∠ECD=∠MCD

∴∠BAE+∠MCD =90°

（3）∠BAC =∠CPQ+∠CQP，理由如下：

如图所示，作PM∥AB，

∵AB∥CD

∴PM∥CD∥AB

∴∠BAC=∠MPC，∠MPQ=∠CQP，

又∵∠MPC=∠MPQ+∠CPQ，

∴∠BAC=∠MPC=∠CQP+∠CPQ

即∠BAC =∠CPQ+∠CQP