Question

【题目】已知：在中，，，点为的中点.

（1）如图1，、分别是、上的点，且，求证：为等腰直角三角形.

（2）如图2，若、分别为，延长线上的点，仍有，其他条件不变，那么，是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】

（1）先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；

（2）还是证明：，主要证∠DAF=∠DBE（∠DBE=180°-45°=135°，∠DAF=90°+45°=135°），再结合两组对边对应相等，所以两个三角形全等．

（1）证明：连结，如图1所示，

∵，，为的中点，

∴，，

∴，

又，

∴.

∴，，

∴.

∴为等腰直角三角形；

（2）若、分别是、延长线上的点，连结，如图2所示，

∵，，为的中点，

∴，，

∴，

∴.

又，

∴，

∴，，

∴.

∴仍为等腰直角三角形.