Question

12．抛物线y=a（x+1）（x-3）交x轴于A、B两点，交y轴于C，∠ABC=45°．
（1）求a值；
（2）点M为抛物线上第一象限内一点，连接AM，当∠CAM=45°时，求M的坐标；
（3）在（2）的条件下，P为抛物线上第一象限内一点，PR∥AM交AC、BC于R、Q，当PQ=$\frac{5}{9}\sqrt{5}$时，求P点坐标．

Answer 1

分析 （1）通过抛物线求出点AB坐标，利用等腰直角三角形性质求出C点坐标，代入抛物线即可求出a值；
（2）过点D做DE⊥AC交AC于点E，利用∠CAM=45°，表示线段EC长度，构造相似三角形，求出线段DC、DO，写出点D坐标，利用点A、D求出直线AM解析式，与二次函数联立方程组即可求出点M的坐标；
（3）由PR∥AM交AC、BC于R、Q，设出直线PR解析式，分别于二次函数、直线BC联系方程组，即可表示点P、Q坐标，由PQ的长度即可求出点P坐标．

解答 解（1）抛物线y=a（x+1）（x-3），令y=0，
∴x=-1，或x=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∵∠ABC=45°，∠BOC=90°，
∴OB=OC=3，
∴C（0，3），
将点C（0，3）代入二次函数解析式得：
a=-1．

（2）设AM交y轴于点D，作DE⊥AC交AC于点E，如下图：
OA=1，OC=3，
∴AC=$\sqrt{10}$，

设DE=x，
∵∠CAM=45°，
∴AE=DE=x，CE=10-x，
∵∠DEC=∠AOC，∠ECD=∠OCA，
∴△AOC∽△DEC，
∴$\frac{OA}{ED}$=$\frac{OC}{CE}$，即：$\frac{1}{x}$=$\frac{3}{\sqrt{10}-x}$，
解得：x=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴CD=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{（{\frac{\sqrt{10}}{4}）}^{2}+（\sqrt{10}-\frac{\sqrt{10}}{4}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∴OD=3-$\frac{5}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴D（0，$\frac{1}{2}$），
设直线AM解析式为y=kx+b，（k≠0），将点D（0，$\frac{1}{2}$）、A（-1，0）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}=b}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，解得：k=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{2}$，
∴直线AM解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$．
联立：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}\\{y=-（x+1）（x-3）}\end{array}\right.$
解得：x=-1，或x=$\frac{5}{2}$，
将x=$\frac{5}{2}$代入抛物线解析式得：y=$\frac{7}{4}$，
∴M（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$）．
所以M点横坐标为M（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$）．

（3）∵PR∥AM，直线AM解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，
∴设直线PR：y=$\frac{1}{2}$x+b，
联立：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+b}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$
解得：x=$\frac{6-2b}{3}$，y=$\frac{2b+3}{3}$，
∴Q（$\frac{6-2b}{3}$，$\frac{2b+3}{3}$），
联立：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+b}\\{y=-（x+1）（x-3）}\end{array}\right.$，
解得：x=$\frac{3±\sqrt{57-16b}}{4}$，
∵点P在第一象限，
∴x=$\frac{3+\sqrt{57-16b}}{4}$
∴y=$\frac{3+8b+\sqrt{57-16b}}{8}$
∴P（$\frac{3+\sqrt{57-16b}}{4}$，$\frac{3+8b+\sqrt{57-16b}}{8}$），
∵PQ=$\frac{5}{9}\sqrt{5}$，点P在第一象限，
∴b=$\frac{77+11\sqrt{21}}{36}$，代入点P，
∴P（$\frac{\sqrt{21}-1}{6}$，$\frac{19-\sqrt{21}}{6}$）．
所以P点横坐标为P（$\frac{\sqrt{21}-1}{6}$，$\frac{19-\sqrt{21}}{6}$）．

点评 题目考查二次函数综合应用，考查了一次函数解析式求解、二次函数解析式求解、相似三角形、两点间距离等知识点，题目包含知识点较多，对学生的能力要求较高，对学生备战中考压轴训练有很大的提高作用．