Question

20．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=90°，AB=AC，点E是边AB上的一点，∠ECD=45°，那么下列结论错误的是（　　）

• A． ∠AED=∠ECB
• B． ∠ADE=∠ACE
• C． BE=$\sqrt{2}$AD
• D． BC=$\sqrt{2}$CE

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质得出BC=$\sqrt{2}$AC，从而证得BC≠$\sqrt{2}$CE，根据平行线的性质得出∠DAC=∠ACB=45°，证得∠DAC=∠ABC，因为∠ACD=∠BCE，证得△DAC∽△EBC，得出$\frac{EC}{DC}$=$\frac{BC}{AC}$，$\frac{BE}{AD}$=$\frac{BC}{AC}$=$\sqrt{2}$，从而证得BE=$\sqrt{2}$AD，进一步证得△ABC∽△DEC，得出∠EDC=∠BAC=90°，从而证得A、D在以EC为直径的圆上，根据圆周角定理证得∠AED=∠ACD=∠ECB，∠ADE=∠ACE，根据以上结论即可判断．

解答 解：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴BC=$\sqrt{2}$AC，
∵EC＞AC，
∴BC≠$\sqrt{2}$CE，
∵AD∥BC，∠ECD=45°，
∴∠DAC=∠ACB=45°，
∴∠DAC=∠ABC，∠ACD=∠BCE，
∴△DAC∽△EBC，
∴$\frac{EC}{DC}$=$\frac{BC}{AC}$，
∵∠ACB=∠ECD=45°，
∴△ABC∽△DEC，
∴∠EDC=∠BAC=90°，
∴A、D在以EC为直径的圆上，
∴∠AED=∠ACD，∠ADE=∠ACE，
∵∠ACD=∠ECB，
∴∠AED=∠ECB，
∵△DAC∽△EBC，
∴$\frac{BE}{AD}$=$\frac{BC}{AC}$=$\sqrt{2}$，
∴BE=$\sqrt{2}$AD，
故选D．

点评 本题考查了梯形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，圆周角定理等，熟练掌握这些性质定理是解题的关键．