Question

如图，已知点C是直径为AB的⊙O上的点，AC=5cm，∠ABC=30°，∠ACB的平分线交⊙O于D，求CD的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理,等腰直角三角形

专题：

分析：根据圆周角定理及勾股定理可得AD的长，过E作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，F，G是垂足，则四边形CFEG是正方形，设EF=EG=x，由三角形面积公式可求出x的值，及CE的值，根据△ADE∽△CBE，根据相似比可求出DE的长，进而求出CD的长．

解答：解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=5cm，∠ABC=30°，
∴BC=

3

AC=5

3

（cm），AB=2AC=10（cm），
∵CD平分∠ACB，
∴

AD

=

BD

，
∴AD=BD，
∴AD=BD=

2

2

AB=5

2

（cm），
过E作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，F，G是垂足，则四边形CFEG是正方形，
设EF=EG=x，
∴

1

2

AC•x+

1

2

BC•x=

1

2

AC•BC，
∴

1

2

×5•x+

1

2

×5

3

×x=

1

2

×5×5

3

，
∴x=

15-5 3

2

，
∴CE=

2

x=

15 2 -5 6

2

，AE=

x

cos30°

=5

3

-5，
∴BE=AB-AE=10-（5

3

-5）=15-5

3

．
∵∠DAB=∠DCB，
∵△ADE∽△CBE，
∴DE：BE=AD：BC，
∴DE：（15-5

3

）=5

2

：5

3

，
∴DE=5

6

-5

2

，
∴CD=CE+DE=5

3

-5+5

6

-5

2

．

点评：本题综合考查了圆周角定理，垂径定理，角平分线的性质，及相似三角形的性质．解答此题的关键是作出辅助线，构造正方形．