Question

【题目】如图，二次函数y＝a（x2+2mx﹣3m2）（其中a，m是常数a＜0，m＞0）的图象与x轴分别交于A、B（点A位于点B的右侧），与y轴交于点C（0，3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连结AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．

（1）求a与m的关系式；

（2）求证：为定值；

（3）设该二次函数的图象的顶点为F．探索：在x轴的正半轴上是否存在点G，连结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）am2＝﹣1；（2）证明见解析；（3）存在，点G的横坐标为3m．

【解析】

（1）将点C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

（2）证明RtADM△∽Rt△ANE，求出点E（x，），将点E的坐标代入抛物线表达式，得到E（﹣4m，﹣5），即可求解；

（3）求出点F（﹣m，4），得到直线FC的表达式，求出点G（3m，0），即可求解．

解：（1）将点C的坐标代入抛物线表达式得：﹣3am2＝3，

解得：am2＝﹣1；

（2）对于二次函数y＝a（x2+2mx﹣3m2），令y＝0，则x＝m或﹣3m，

∴函数的对称轴为：x＝﹣m，

∵CD∥AB，

∴点D、C的纵坐标相同，故点D（﹣2m，3），

故点A、B的坐标分别为：（m，0）、（﹣3m，0），

设点E（x，y），y＝a（x2+2mx﹣3m2），

分别过点D、E作x轴的垂线，垂足分别为M、N，

∵AB平分∠DAE，

∴∠DAM＝∠EAN，

∴RtADM△∽Rt△ANE，

∴，即，

解得：y＝，

故点E（x，），

将点E的坐标代入抛物线表达式并解得：x＝﹣4m，

则y＝＝﹣5，

故点E（﹣4m，﹣5），

故＝＝为定值；

（3）存在，理由：

函数的对称轴为x＝﹣m，当x＝﹣m时，y＝a（x2+2mx﹣3m2）＝4，即点F（﹣m，4），

由点F、C的坐标得，直线FC的表达式为：y＝﹣x+3，令y＝0，则x＝3m，即点G（3m，0），

GF2＝（3m+m）2+42＝16m2+16，

同理AD2＝9m2+9，AE2＝25m2+25，

故AE2＝AD2+GF2，

GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，

点G的横坐标为3m．