Question

【题目】如图（1），E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．

（1）探究：
①若∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？
②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于多少度？
③在图（1）中∠AED、∠EAB、∠EDC有什么数量关系，并证明你的结论．
（2）拓展：如图（2），射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的四个区域（不含边界，其中③④位于直线AB的上方），P是位于以上四个区域上点，猜想：∠PEB、∠PFC、∠EPF之间的关系．（不要求证明）

Answer 1

【答案】
（1）解：①如图①，过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∵∠A=30°，∠D=40°，

∴∠1=∠A=30°，∠2=∠D=40°，

∴∠AED=∠1+∠2=70°；

②过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∵∠A=20°，∠D=60°，

∴∠1=∠A=20°，∠2=∠D=60°，

∴∠AED=∠1+∠2=80°；

③猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC．

理由：过点E作EF∥CD，

∵AB∥DC，

∴EF∥AB（平行于同一条直线的两直线平行），

∴∠1=∠EAB，∠2=∠EDC（两直线平行，内错角相等），

∴∠AED=∠1+∠2=∠EAB+∠EDC（等量代换）

（2）解：点P在区域①时，

如图1，在五边形EBCFP中，∠PEB+∠B+∠C+∠PFC+∠P=540°

∴∠EPF=540°﹣∠B﹣∠C﹣（∠PEB+∠PFC）=360°﹣（∠PEB+∠PFC）；

点P在区域②时，如图2，同（1）的方法得，∠EPF=∠PEB+∠PFC；

点P在区域③时，如图3，同（1）的方法得，∠EPF=∠PEB﹣∠PFC；

点P在区域④时，如图4，同（1）的方法得，∠EPF=∠PFC﹣∠PEB．

【解析】（1）①、②、③做出平行线，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再利用角的的和差及等量代换即可得证；
（2）分四个区域分别找出三个角关系即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平行线的性质和平行线的判定与性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质．