Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣），与x轴交于A、B两点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．

（3）点C关于x轴的对称点为H，当FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）E（﹣，﹣）；；

（3）（1，）或（1，）或Q（1，2）或Q（1，﹣）．

【解析】

（1）将点C、D的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

（2）当△AOC∽△AEB时，求出yE=-，由△AOC∽△AEB得：即可求解；

（3）如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，当折线段BFG与BE重合时，CF+BF取得最小值，①当点Q为直角顶点时，由Rt△QHM∽Rt△FQM得：QM2=HMFM；②当点H为直角顶点时，点H（0，2），则点Q（1，2）；③当点F为直角顶点时，同理可得：点Q（1，-）．

（1）由题可列方程组：，解得：

∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣2；

（2）由题意和勾股定理得，∠AOC＝90°，AC＝，AB＝4，

设直线AC的解析式为：y＝kx+b，则，

解得：，

∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2；

当△AOC∽△AEB时＝（）2＝（）2＝，

∵S△AOC＝1，

∴S△AEB＝，

∴AB×|yE|＝，AB＝4，则yE＝﹣，

则点E（﹣，﹣）；

由△AOC∽△AEB得：

∴；

（3）如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，

则FG＝CFsin∠FCG＝CF，

∴CF+BF＝GF+BF≥BE，

当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，

由（2）可知∠ABE＝∠ACO

|y|＝OBtan∠ABE＝OBtan∠ACO＝3×＝，

∴当y＝﹣时，即点F（0，﹣），CF+BF有最小值；

①当点Q为直角顶点时（如图3） F（0，﹣），

∵C（0，﹣2）

∴H（0，2）设Q（1，m），过点Q作QM⊥y轴于点M．

则Rt△QHM∽Rt△FQM∴QM2＝HMFM，

∴12＝（2﹣m）（m+），

解得：m＝，则点Q（1，）或（1，）

当点H为直角顶点时：点H（0，2），则点Q（1，2）；当点F为直角顶点时：

同理可得：点Q（1，﹣）；

综上，点Q的坐标为：（1，）或（1，）或Q（1，2）或Q（1，﹣）．