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【题目】如图,抛物线的图象与坐标轴交于点ABD,顶点为E,以AB为直径画半圆交y正半轴交于点C,圆心为MP是半圆上的一动点,连接EP.①点E在⊙M的内部;②CD的长为;③若PC重合,则∠DPE15°;④在P的运动过程中,若AP ,则PENPE的中点,当P沿半圆从点A运动至点B时,点N运动的路径长是.其中结论正确的是______________

【答案】②③④

【解析】

ME=2=AM,∴E应该在⊙M上,即可求解;

CD=2×=3,故CD的长为

③过点DDHME,由DH=1MD=R=2,故∠DME=30°,则∠DPE=15°,即可求解;

AK=AEsinα=2×=,同理EK=,PK=,即可求解;

⑤点N的运动轨迹为以R为圆心的半圆,则N运动的路径长=×2πr=π,

解:抛物线的图象与坐标轴交于点ABD

则点ABD的坐标分别为:(-10)、(30)、(0-),则点M10),
顶点E的坐标为:(1-2),AB=4CO=OD=,故点D不在⊙M上;
ME=2=AM,∴E应该在⊙M上,故不符合题;
C是圆My轴交点,圆M半径为2M10)由勾股定理得OC=
CD=2×=3,故CD的长为,符合题意;
③如图1,连接DPME,点DE均在⊙M上,

过点DDHMEH
DH=1MD=R=2
故∠DME=30°,则∠DPE=15°,符合题意;
④如图2,连接PBPAAE
∵点BE均在圆上,则∠ABP=AEP=α,
sinAEP=sinABP==sinα,则cosα=

过点AAK垂直于PEK,则AK=AEsinα=2×=EK=AEcosα═,则PK=AK=,故则PE=,符合题意;
⑤如图3,图中实点GNMF是点N运动中所处的位置,

GF是等腰直角三角形的中位线,GF=AB=2MEAB于点R,则四边形GEFM为正方形,当点P在半圆任意位置时,中点为N,连接MN,则MNPE,连接NR
NR=ME=MR=RE=RG=RF=GF=1,则点N的运动轨迹为以R为圆心的半圆,则N运动的路径长=×2πr=π,故不符合题意;
故答案为:②③④.

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