Question

14．如图，AC是⊙O的直径，OE⊥AC交弦AB于E，若BC=4，S_△AOE=5，则sin∠BOE的值为$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 由题意可知，OE为直径AC的中垂线，则CE=AE=5，S_△AEC=2S_△AOE=10，由S_△AEC求出线段AE的长度，进而在Rt△BCE中，由勾股定理求出线段BE的长度；然后证明∠BOE=∠BCE，从而可求得结果．

解答 如图，连接EC．

由题意可得，OE为直径AC的垂直平分线，∠ABC=90°，
∴CE=AE，S_△AOE=S_△COE=5，
∴S_△AEC=2S_△AOE=10．
∴$\frac{1}{2}$AE•BC=10，
∵BC=4，
∴AE=5，
∴EC=5．
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE=$\sqrt{C{E}^{2}-B{C}^{2}}$=3．
∵∠EBC+∠EOC=90°+90°=180°，
∴B、C、O、E四点共圆，
∴∠BOE=∠BCE．
∴sin∠BOE=sin∠BCE=$\frac{3}{5}$．
故答案为：$\frac{3}{5}$．

点评 此题考查了线段垂直平分线的性质；勾股定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义．解题的关键是：添加辅助线将∠BOE转化为∠BCE．