Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = ax2+ bx + c经过A、B、C三点，已知点A（-3，0），B（0，3），C（1，0）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；

（3）在直线x = -2上是否存在点M，使得∠MAC = 2∠MCA，若存在，求出M点坐标．若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）点（-，），△PDE的周长最大；（3）点M（-2，）或（-2，-）．

【解析】

（1）将A、B、C三点代入，利用待定系数法求解析式；

（2）根据坐标发现，△AOB是等腰直角三角形，故只需使得PD越大，则△PDE的周长越大.联立直线AB与抛物线的解析式可得交点P坐标；

（3）作点A关于直线x=-2的对称点D，利用∠MAC = 2∠MCA可推导得MD=CD，进而求得ME的长度，从而得出M坐标

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），B（0，3），C（1，0），

∴，解得：，

所以，抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；

（2）∵A（-3，0），B（0，3），

∴OA=OB=3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°，

∵PF⊥x轴，∴∠AEF=90°-45°=45°，

又∵PD⊥AB，∴△PDE是等腰直角三角形，

∴PD越大，△PDE的周长越大，易得直线AB的解析式为y=x+3，

设与AB平行的直线解析式为y=x+m，

联立，消掉y得，x2+3x+m-3=0，

当△=9-4（m-3）=0，即m=时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，

此时x=-，y=，∴点（-，），△PDE的周长最大；

（3）设直线x=-2与x轴交于点E，作点A关于直线x=-2的对称点D，则D（-1，0），连接MA，MD，MC．

∴MA=MD，∠MAC=∠MDA=2∠MCA ，

∴∠CMD=∠DCM

∴MD=CD=2 ， ∴ME=

∴点M（-2，）或（-2，-）．