Question

如图，已知CD是直角△ABC斜边上的中线，DF交AC于E，交BC延长线于F，且CD²=DE•DF，求证：
（1）DF⊥AB；
（2）BC•BF=2BD²．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）将等积式CD²=DE•DF，转化为比例式CD：DF=DE：DC，由∠CDE=∠FDC，得到△CDE∽△FDC，进而得到∠DCE=∠DFC；这是解决该题的关键结论；证明∠F=∠A；即可解决问题．
（2）由（1）知∠A=∠F，∠B=∠B，得到△ABC∽△FBD，列出比例式即可解决问题．

解答：证明：（1）∵CD²=DE•DF，
而∠CDE=∠FDC，
∴△CDE∽△FDC，
∴∠DCE=∠DFC；
∵CD是直角△ABC斜边AB的中线，
∴DC=DA=

1

2

AB，
∴∠DCE=∠A，
∴∠F=∠A；
∴∠DCE=∠DFC；
∵∠A+∠B=90°，
∴∠F+∠B=90°，
∴∠BDF=180°-90°=90°，
即DF⊥AB．
（2）∵∠A=∠F，∠B=∠B，
∴△ABC∽△FBD，
∴BC：BD=AB：BF，即BC•BF=BD•AB，
而AB=2BD，故BC•BF=2BD²．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的综合应用问题；解题的关键是深入观察图形、大胆猜测推理、科学求解论证；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．