Question

如图，在△ABC中，矩形DEFG的边DE在AB上运动，点F、G分别在BC、AC上，若∠ACB=90°，线段DM、EN分别为∠ADG和∠BEF的角平分线．求证：MG=NF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：延长FG，DM交于点H，易证∠HGM=∠NFE和∠H=∠FEN=45°，即可证明△EFN≌△HGM，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题．

解答：证明：延长FG，DM交于点H，
∵FG∥AB，
∴∠A=∠HGM，
∵∠A+∠AGD=90°，∠AGD+∠CGF=90°，
∴∠A=∠CGF，
∵∠CGF+∠CFG=90°，∠CFG+∠NFE=90°，
∴∠CGF=∠NFE，
∴∠HGM=∠NFE，
∵DM是∠ADG平分线，EN是∠BEF平分线，
∴∠HDG=∠FEN=45°，
∴HG=DG=EF，∠H=45°，
在△EFN和△HGM中，

∠H=∠FEN=45° HG=EF ∠HGM=∠NFE

，
∴△EFN≌△HGM（ASA），
∴FM=FN．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△EFN≌△HGM是解题的关键．