Question

如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是DC及AB的中点，射线FE与AD及BC的延长线分别交于点H及G．试猜想∠AHF与∠BGF的关系，并给出证明．
提示：若猜想不出∠AHF与∠BGF的关系，可考虑使四边形ABCD为特殊情况．如果给不出证明，可考虑下面作法，连结AC，以F为中心，将△ABC旋转180°，得到△ABP．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,旋转的性质

专题：

分析：方法一：连AC，取其中点为M，连EM和FM，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EM∥AD，2EM=AD，同理FM∥BC，2FM=BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AHF=∠MEF，两直线平行，内错角相等可得∠BGF=∠MFE，从而得证；
方法二：作法，连结AC，以F为中心，将△ABC旋转180°，得到△ABP，根据独角戏互相平分的四边形的平行四边形可得APBC是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得AP=BC=AD，连结AP，根据等边对等角可得∠APD=∠ADP，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥DP根据两直线平行，同位角相等可得∠AHF=∠ADP，根据两边互相平行的两个角相等或互补可得∠BGF=∠APD，然后等量代换即可得证．

解答：答：∠AHF=∠BGF．
证明：方法一：连AC，取其中点为M，连EM和FM，
∵EM是△ACD的中位线，
∴EM∥AD，2EM=AD，
同理FM∥BC，2FM=BC，
∴EM=FM，
∴∠MEF=∠MFE，
∵∠AHF=∠MEF，∠BGF=∠MFE，
∴∠AHF=∠BGF；

方法二：作法，连结AC，以F为中心，将△ABC旋转180°，得到△ABP，
∵F是AB的中点，
∴APBC是平行四边形，
∴AP=BC=AD，
连结AP，则∠APD=∠ADP，
∵EF是△CDP的中位线，
∴EF∥DP，
∴∠AHF=∠ADP，
∵GF∥DP，GB∥AP，
∴∠BGF=∠APD，
∴∠AHF=∠BGF．

点评：本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的判定与性质，难点在于作辅助线构造出三角形的中位线．