【题目】问题情境:
在平面直角坐标系中有不重合的两点和点,小明在学习中发现,若,则轴,且线段的长度为;若,则轴,且线段的长度为;
(应用):
(1)若点、,则轴,的长度为__________.
(2)若点,且轴,且,则点的坐标为__________.
(拓展):
我们规定:平面直角坐标系中任意不重合的两点,之间的折线距离为;例如:图1中,点与点之间的折线距离为.
解决下列问题:
(1)如图1,已知,若,则__________;
(2)如图2,已知,,若,则__________.
(3)如图3,已知的,点在轴上,且三角形的面积为3,则__________.
【答案】【应用】:(1)3;(2)(1,2)或(1,2);【拓展】:(1)=5;(2)2或2;(3)4或8
【解析】
(1)根据若y1=y2,则AB∥x轴,且线段AB的长度为|x1x2|,代入数据即可得出结论;
(2)由CD∥y轴,可设点D的坐标为(1,m),根据CD=2即可得出|0m|=2,解之即可得出结论;
(1)根据两点之间的折线距离公式,代入数据即可得出结论;
(2)根据两点之间的折线距离公式结合d(E,H)=3,即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程,解之即可得出结论;
(3)由点Q在x轴上,可设点Q的坐标为(x,0),根据三角形的面积公式结合三角形OPQ的面积为3即可求出x的值,再利用两点之间的折线距离公式即可得出结论.
解:【应用】:
(1)AB的长度为|12|=3.
故答案为:3.
(2)由CD∥y轴,可设点D的坐标为(1,m),
∵CD=2,
∴|0m|=2,解得:m=±2,
∴点D的坐标为(1,2)或(1,2).
故答案为:(1,2)或(1,2).
【拓展】:
(1)d(E,F)=|2(1)|+|0(2)|=5.
故答案为:=5.
(2)∵E(2,0),H(1,t),d(E,H)=3,
∴|21|+|0t|=3,解得:t=±2.
故答案为:2或2.
(3)由点Q在x轴上,可设点Q的坐标为(x,0),
∵三角形OPQ的面积为3,
∴ ,解得:x=±2.
当点Q的坐标为(2,0)时,d(P,Q)=|32|+|30|=4;
当点Q的坐标为(2,0)时,d(P,Q)=|3(2)|+|30|=8.
故答案为:4或8.
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【题目】某风景区集体门票的收费标准是:20人以内(含20人),每人25元;超过20人,超过的部分,每人10元.
(1)写出应收门票费y(元)与游览人数x(人)之间的函数解析式;
(2)利用(1)中的函数解析式计算,某班54名学生要去该风景区游览,购买门票一共需要花多少钱?
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【题目】已知是等边三角形,点是直线上一点,以为一边在的右侧作等边.
(1)如图①,点在线段上移动时,直接写出和的大小关系;
(2)如图②,点在线段的延长线上移动时,猜想的大小是否发生变化.若不变请求出其大小;若变化,请说明理由.
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【题目】如图1,在中,于E,,D是AE上的一点,且,连接BD,CD.
试判断BD与AC的位置关系和数量关系,并说明理由;
如图2,若将绕点E旋转一定的角度后,试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化,并说明理由;
如图3,若将中的等腰直角三角形都换成等边三角形,其他条件不变.
试猜想BD与AC的数量关系,请直接写出结论;
你能求出BD与AC的夹角度数吗?如果能,请直接写出夹角度数;如果不能,请说明理由.
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【题目】如图,在正方形网格图中建立一直角坐标系,一条圆弧经过网格点
A(0,2),B(4,2)C(6,0),解答下列问题:
(1)请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置,则D点坐标为___ ___;
(2)连结AD,CD,求⊙D的半径(结果保留根号);
(3)若把扇形DAC围成一个圆锥,求围成圆锥的底面半径(结果保留根号).
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【题目】A、B两种型号的机器加工同一种零件,已知A型机器比B型机器每小时多加工20个零件,A型机器加工400个零件所用时间与B型机器加工300个零件所用时间相同.A型机器每小时加工零件的个数_____.
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【题目】猜想与证明:
观察下列各个等式的规律:
第一个等式:
第二个等式:
第三个等式:
第四个等式:
请用上述等式反映出的规律猜想并证明:
(1)直接写出第五个等式;
(2)问题解决:猜想第 n 个等式(n≥1,用 n 的代数式表示),并证明你猜想的等式是正确的
(3)一个容器装有11水,按照如下要求把水倒出:第1次倒出 水,第2次倒出的水量是L水的,第3次倒出的水量是水的,第4次倒出的水量是水的,……第次倒出的水量是L水的,…按照这种倒水的方法,求倒n次水倒出的总水量.
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【题目】如图,AC是⊙O的直径,BC交O于点D,E是弧CD的中点,连接AE交BC于点F,∠ABC=2∠EAC.
(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)若 tanB=,BD=6,求CF的长.
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【题目】《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”其意思为“今有直角三角形,勾(短直角边)长为5步,股(长直角边)长为12步,问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步?”该问题的答案是________步.
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