【题目】《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”其意思为“今有直角三角形,勾(短直角边)长为5步,股(长直角边)长为12步,问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步?”该问题的答案是________步.
【答案】
【解析】
如图1,根据正方形的性质得:DE∥BC,则△ADE∽△ACB,列比例式可得结论;如图2,同理可得正方形的边长,比较可得最大值.
解:如图1,
∵四边形CDEF是正方形,
∴CD=ED,DE∥CF,
设ED=x,则CD=x,AD=12-x,
∵DE∥CF,
∴∠ADE=∠C,∠AED=∠B,
∴△ADE∽△ACB,
∴=,
∴=,
x=,
如图2,四边形DGFE是正方形,
过C作CP⊥AB于P,交DG于Q,
设ED=x,
S△ABC=ACBC=ABCP,
12×5=13CP,
CP=,
同理得:△CDG∽△CAB,
∴=,
∴= ,
x=<,
∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是(步),
故答案为:.
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【题目】问题情境:
在平面直角坐标系中有不重合的两点和点,小明在学习中发现,若,则轴,且线段的长度为;若,则轴,且线段的长度为;
(应用):
(1)若点、,则轴,的长度为__________.
(2)若点,且轴,且,则点的坐标为__________.
(拓展):
我们规定:平面直角坐标系中任意不重合的两点,之间的折线距离为;例如:图1中,点与点之间的折线距离为.
解决下列问题:
(1)如图1,已知,若,则__________;
(2)如图2,已知,,若,则__________.
(3)如图3,已知的,点在轴上,且三角形的面积为3,则__________.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,为坐标原点,矩形的顶点、,将矩形的一个角沿直线折叠,使得点落在对角线上的点处,折痕与轴交于点.
(1)线段的长度为__________;
(2)求直线所对应的函数解析式;
(3)若点在线段上,在线段上是否存在点,使四边形是平行四边形?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,O是等边△ABC内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′,下列结论:
①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到;&
②点O与O′的距离为4;
③∠AOB=150°;
④四边形AOBO′的面积为6+3 ;
⑤S△AOC+S△AOB=6+.
其中正确的结论是_______________.
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【题目】小李是某服装厂的一名工人,负责加工A,B两种型号服装,他每月的工作时间为22天,月收入由底薪和计件工资两部分组成,其中底薪900元,加工A型服装1件可得20元,加工B型服装1件可得12元.已知小李每天可加工A型服装4件或B型服装8件,设他每月加工A型服装的时间为x天,月收入为y元.
(1) 求y与x的函数关系式;
(2) 根据服装厂要求,小李每月加工A型服装数量应不少于B型服装数量的,那么他的月收入最高能达到多少元?
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【题目】如图,一次函数y=mx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A(3,1),B(﹣,n)两点.
(1)求该反比例函数的解析式;
(2)求n的值及该一次函数的解析式.
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,∠B=30°,且AC边在直线l上,将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1,此时;将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②,可得到点P2,此时;将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③,可得到点P3,此时;……,按此规律继续旋转,直至得到点为止,则=___________.
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+3过点A(-1,0),B(3,0),点M,N为抛物线上的动点,过点M作MD∥y轴,交直线BC于点D,交x轴于点E.
(1)求抛物线的表达式;
(2)过点N作NF⊥x轴,垂足为点F,若四边形MNFE为正方形(此处限定点M在对称轴的右侧),求该正方形的面积;
(3)若∠DMN=90°,MD=MN,直接写出点M的坐标.
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