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【题目】如图,O是等边△ABC内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′,下列结论:

①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到;&

②点O与O′的距离为4;

③∠AOB=150°;

④四边形AOBO′的面积为6+3

⑤S△AOC+S△AOB=6+.

其中正确的结论是_______________

【答案】①②③⑤.

【解析】

证明△BOA≌△BOC,又∠OBO=60°,所以△BOA可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到,故结论①正确;

由△OBO是等边三角形,可知结论②正确;

在△AOO中,三边长为3,4,5,这是一组勾股数,故△AOO是直角三角形;进而求得∠AOB=150°,故结论③正确;

S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+4,故结论④错误;

如图②,将△AOB绕点A逆时针旋转60°,使得ABAC重合,点O旋转至O′′点.利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形,将S△AOC+S△AOB转化为S△COO″+S△AOO″,计算可得结论⑤正确.

由题意可知,∠1+∠2=∠3+∠2=60°

∴∠1=∠3,

又∵OB=OB,AB=BC,

在△BOA和△BOC中,

∴△BOA≌△BOC(SAS),

又∵∠OBO=60°

∴△BOA可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到,

故结论①正确;

如图①连接OO

∵OB=OB,且∠OBO=60°

∴△OBO是等边三角形,

∴OO=OB=4.

故结论②正确;

∵△BOA≌△BOC,∴OA=5.

在△AOO中,三边长为3,4,5,这是一组勾股数,

∴△AOO是直角三角形,∠AOO=90°

∴∠AOB=∠AOO+∠BOO=90°+60°=150°

故结论③正确;

S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=×3×4+×42=6+4

故结论④错误;

如图②所示将△AOB绕点A逆时针旋转60°,使得ABAC重合,点O旋转至O′′.

易知△AOO′′是边长为3的等边三角形,△COO′′是边长为3、4、5的直角三角形,

S△AOC+S△AOB=S四边形AOCO'=S△COO'+S△AOO'=×3×4+×32=6+

故结论⑤正确.

综上所述,正确的结论为:①②③⑤.

故答案为:①②③⑤.

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其中正确的是(  )

  A.①②  B.①④  C.②③  D.③④

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