Question

【题目】已知：点A、C、B不在同一条直线上，AD∥BE．

（1）如图①，当∠A=48°，∠B=128°时，求∠C的度数；

（2）如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系；

（3）如图③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，QP⊥PB，直接写出∠DAC：∠ACB：∠CBE的值．

Answer 1

【答案】（1）100°（2）2∠AQB＋∠C＝180°（3）1：2：2

【解析】

（1）过点C作CF∥AD，则CF∥BE，根据平行线的性质可得出∠ACF＝∠A、∠BCF＝180°∠B，将其代入∠ACB＝∠ACF＋∠BCF即可求出∠ACB的度数；

（2）过点Q作QM∥AD，则QM∥BE，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出∠AQB＝（∠CBE∠CAD），结合（1）的结论可得出2∠AQB＋∠C＝180°；

（3）由（2）的结论可得出∠CAD＝∠CBE①，由QP⊥PB可得出∠CAD＋∠CBE＝180°②，联立①②可求出∠CAD、∠CBE的度数，再结合（1）的结论可得出∠ACB的度数，将其代入∠DAC：∠ACB：∠CBE中可求出结论．

（1）在图①中，过点C作CF∥AD，则CF∥BE．

∵CF∥AD∥BE，

∴∠ACF＝∠A，∠BCF＝180°∠B，

∴∠ACB＝∠ACF＋∠BCF＝180°（∠B∠A）＝120°．

（2）在图②中，过点Q作QM∥AD，则QM∥BE．

∵QM∥AD，QM∥BE，

∴∠AQM＝∠NAD，∠BQM＝∠EBQ．

∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，

∴∠NAD＝∠CAD，∠EBQ＝∠CBE，

∴∠AQB＝∠BQM∠AQM＝（∠CBE∠CAD）．

∵∠C＝180°（∠CBE∠CAD）＝180°2∠AQB，

∴2∠AQB＋∠C＝180°．

（3）∵AC∥QB，

∴∠AQB＝∠CAP＝∠CAD，∠ACP＝∠PBQ＝∠CBE，

∴∠ACB＝180°∠ACP＝180°∠CBE．

∵2∠AQB＋∠ACB＝180°，

∴∠CAD＝∠CBE．

又∵QP⊥PB，

∴∠CAP＋∠ACP＝90°，即∠CAD＋∠CBE＝180°，

∴∠CAD＝60°，∠CBE＝120°，

∴∠ACB＝180°（∠CBE∠CAD）＝120°，

∴∠DAC：∠ACB：∠CBE＝60°：120°：120°＝1：2：2．