Question

已知，平面直角坐标系中，直线ABy=-x-

2

分别交x轴，y轴于A、B两点，一动圆⊙C与x轴相切于点M．
（1）求∠OAB的度数；
（2）如图，当⊙C得半径为2时，且⊙C与直线AB相切于点H，求点M的坐标；
（3）当⊙C的半径为2时，且⊙C在x轴下方与直线AB相切，直接写出点M的坐标（用含r的代数式表示）．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）先根据坐标轴上点的坐标特征求出A点和B点坐标，可得到OA=OB=

2

，从而可判断△OAB为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质即可得到∠OAB的度数；
（2）作CD∥x轴交AB于D，作DE⊥x轴于E，理解CH、CM，如图1，根据切线的性质得OM⊥x轴，OH⊥AB，得到四边形CDEM为矩形，再利用△ADE和△CDH都是直角三角形得到AE=2，CD=2

2

，则ME=2

2

，然后计算出OM的长，从而得到M点的坐标；
（3）分类讨论：当M点在x轴正半轴，作CD∥x轴交AB于D，作DE⊥x轴于E，理解CH、CM，如图2，与（2）一样可得AE=DE=r，ME=CD=

2

r，则OM=AE+ME-OA=r+

2

r-

2

=（

2

+1）r-

2

，此时M点坐标为（（

2

+1）r-

2

，0）；当M点在圆点时，M点坐标为（0，0）；同样当M点在OA上时，OM=OA-AE-EM=

2

-（

2

+1）r，此时M点坐标为（

2

-（

2

+1）r，0）．

解答：解：（1）当y=0时，-x-

2

=0，解得x=-

2

，则A点坐标为（-

2

，0）；
当x=0时，y=-x-

2

=-

2

，则B点坐标为（0，-

2

），
则OA=OB=

2

，
所以△OAB为等腰直角三角形，
所以∠OAB=45°；
（2）作CD∥x轴交AB于D，作DE⊥x轴于E，理解CH、CM，如图1，
∵⊙C与x轴相切于点M，与直线AB相切于点H，
∴OM⊥x轴，OH⊥AB，
∵CD∥ME，
∴四边形CDEM为矩形，
∴DE=CM=2，
在Rt△ADE中，∵∠DAE=∠OAB=45°，
∴AE=DE=2，
在Rt△CDH中，∵CH=2，∠CDH=∠DAE=45°，
∴CD=

2

CH=2

2

，
∴ME=CD=2

2

，
∴OM=OA+AE+ME=

2

+2+2

2

=3

3

+2，
∴M点的坐标为（-3

2

-2，0）；
（3）当M点在x轴正半轴，
作CD∥x轴交AB于D，作DE⊥x轴于E，理解CH、CM，如图2，
∵⊙C与x轴相切于点M，与直线AB相切于点H，
∴OM⊥x轴，OH⊥AB，
∵CD∥ME，
∴四边形CDEM为矩形，
∴DE=CM=r，
在Rt△ADE中，∵∠DAE=∠OAB=45°，
∴AE=DE=r，
在Rt△CDH中，∵CH=r，∠CDH=∠OAB=45°，
∴CD=

2

CH=

2

r，
∴ME=CD=

2

r，
∴OM=AE+ME-OA=r+

2

r-

2

=（

2

+1）r-

2

，
∴M点坐标为（（

2

+1）r-

2

，0）；
当M点在圆点时，M点坐标为（0，0）；
当M点在OA上时，OM=OA-AE-EM=

2

-（

2

+1）r，此时M点坐标为（

2

-（

2

+1）r，0），
综上所述，M点坐标为（（

2

+1）r-

2

，0），（0，0），（

2

-（

2

+1）r，0）．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质和等腰直角三角形的判定与性质；理解坐标与图形性质．会运用分类讨论的思想解决数学问题．